[논문 리뷰] A Function in the Number Theory

Florentín Smarandache|ArXiv.org|2004. 05. 08.

Advanced Mathematical Theories인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 n이 m!에 의해 나누어떨어지게 하는 가장 작은 정수 m인 Smarandache 함수 η(n)을 정의한다. 이 함수는 소수 거듭제곱 분해와 모듈로 산술을 사용하여 구성되며, 핵심 결과로는 n을 나누는 최소의 계승을 결정하기 위해 n을 나누는 모든 소수 거듭제곱에 대해 ηₚ(n)의 최댓값을 통해 η(n)을 계산할 수 있음을 보여준다. 이는 주어진 정수 n에 대해 나누어떨어지는 최소 계승을 체계적으로 결정하는 방법을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper one constructs a function $η$ with the property that if $n$ is non-null then $η(n)$ is the smallest integer such that $η(n)!$ is divisible by $n$. In order to calculate it one considers, for each prime $p$, the associated function $η_{p}(n)$ in a power base.

연구 동기 및 목표

• n이 m!에 의해 나누어떨어지게 하는 가장 작은 정수 m을 반환하는 함수 η(n)을 정의하는 것.
• 소수 거듭제곱 분해와 관련된 보조 함수 ηₚ(n)를 사용하여 η(n)을 계산하는 방법을 설정하는 것.
• 모든 양의 정수 n에 대해 η(n)의 행동을 분석하는 것.
• 소수 분해와 모듈로 조건에 기반한 η(n)을 결정하는 구축 가능한 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• n이 m!에 의해 나누어떨어지게 하는 가장 작은 양의 정수 m로 η(n)을 정의한다.
• 각 소수 p에 대해, n을 나누는 p의 최고 거듭제곱 p^k에 대해 p^k가 m!에 의해 나누어떨어지게 하는 가장 작은 m인 ηₚ(n)을 정의한다.
• 각 소수 거듭제곱에 대해 m!에서 소수의 지수를 결정하는 공식을 사용하여 나누어떨어짐 조건을 만족하는 최소 m을 결정한다.
• n을 나누는 모든 소수 p에 대해 ηₚ(n)의 최댓값으로 η(n)을 계산한다.
• 소수의 지수를 계승에서 계산하기 위해 Legendre 공식을 적용한다: v_p(m!) = ∑_{i≥1} ⌊m/p^i⌋.
• n이 η(n)!에 의해 나누어진다는 것을 보장하기 위해 η(n) = max{ηₚ(n) | p는 소수, p^k || n}임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 양의 정수 n에 대해 m!이 n에 의해 나누어떨어지게 하는 가장 작은 정수 m은 무엇인가?
• RQ2 n의 소수 분해를 사용하여 η(n)을 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 η(n)과 n의 소수 거듭제곱 성분 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 모든 소수 p가 n을 나누는 조건에서 v_p(m!) ≥ v_p(n)을 만족하는 최소 m에 대한 함수로 η(n)을 표현할 수 있는가?
• RQ5 η(n)은 다양한 정수의 유형에 따라 어떤 구조적 성질을 보이는가?

주요 결과

• 모든 양의 정수 n에 대해 Smarandache 함수 η(n)은 잘 정의되어 있으며, n이 η(n)!에 의해 나누어떨어지게 하는 가장 작은 m을 반환한다.
• n을 나누는 각 소수 거듭제곱 p^k에 대해, ηₚ(n)은 m!에서 p의 지수가 적어도 k 이상이 되게 하는 가장 작은 m이다.
• η(n)의 값은 n을 나누는 모든 소수 거듭제곱 p^k에 대해 ηₚ(n)의 최댓값에 의해 결정된다.
• Legendre 공식을 사용하여 v_p(m!)를 증가하는 m에 대해 평가함으로써 η(n)은 알고리즘적으로 계산될 수 있다.
• 이 구성은 η(n)!가 n에 의해 나누어떨어지며, 그보다 더 작은 계승은 이러한 성질을 갖지 않는다는 것을 보장한다.
• 함수 η(n)은 특히 관련된 가장 큰 소수 거듭제곱에 따라 비트리비얼한 의존성을 보인다.