[논문 리뷰] A general framework for uncertainty quantification under non-Gaussian input dependencies

Emiliano Torre, Stefano Marelli외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 25.

Probabilistic and Robust Engineering Design인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다변량 입력 의존성을 빈 복소수(copula)를 사용하여 비정규 입력 의존성 하에서의 불확실성 정량화(UQ)를 위한 일반적인 프레임워크를 제안한다. 이는 데이터 기반 추론을 가능하게 하고 다양한 UQ 방법과의 통합을 가능하게 한다. 결과적으로, 한정된 데이터 조건에서도 비정규성에 비해 빈 복소수 모델링이 응답 통계 및 신뢰도 추정치를 크게 향상시킴을 보여준다.

ABSTRACT

Systems subject to uncertain inputs produce uncertain responses. Uncertainty quantification (UQ) deals with the estimation of statistics of the system response, given a computational model of the system and a probabilistic model of its inputs. In engineering applications it is common to assume that the inputs are mutually independent or coupled by a Gaussian or elliptical dependence structure (copula). In this paper we overcome such limitations by modelling the dependence structure of multivariate inputs as vine copulas. Vine copulas are models of multivariate dependence built from simpler pair-copulas. The vine representation is flexible enough to capture complex dependencies. This paper formalises the framework needed to build vine copula models of multivariate inputs and to combine them with virtually any UQ method. The framework allows for a fully automated, data-driven inference of the probabilistic input model on available input data. The procedure is exemplified on two finite element models of truss structures, both subject to inputs with non-Gaussian dependence structures. For each case, we analyse the moments of the model response (using polynomial chaos expansions), and perform a structural reliability analysis to calculate the probability of failure of the system (using the first order reliability method and importance sampling). Reference solutions are obtained by Monte Carlo simulation. The results show that, while the Gaussian assumption yields biased statistics, the vine copula representation achieves significantly more precise estimates, even when its structure needs to be fully inferred from a limited amount of observations.

연구 동기 및 목표

• 공 ing 시스템의 불확실성 정량화(UQ)에서 독립성 또는 정규 입력 의존성에 대한 가정의 한계를 해결하기 위해.
• 복잡한 비정규 다변량 의존성 구조를 모델링하기 위한 유연하고 데이터 기반의 프레임워크를 개발하기 위해.
• 다양한 UQ 방법(예: 다항 혼합 및 신뢰도 분석 포함)과 빈 복소수 기반 입력 모델의 원활한 통합을 가능하게 하기 위해.
• 실제 입력 데이터를 사용한 유한요소 모델을 통해 응답 모멘트와 실패 확률 추정치의 정확도를 입증하기 위해.
• 제한된 관측 데이터 조건에서 몬테카를로 시뮬레이션을 기준 솔루션으로 삼아 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 고차원 의존성을 순차적 이원 복소수로 분해함으로써灵活性와 해석 가능성 확보를 위한 빈 복소수를 사용한 다변량 입력 의존성 모델링.
• 가용한 입력 관측치로부터 자동으로 빈 복소수 구조 및 파라미터를 학습하는 데이터 기반 추론 사용.
• 유도된 빈 복소수 모델을 다항 혼합 전개와 통합하여 응답 모멘트 추정.
• 첫 번째 차수 신뢰도 방법(FORM) 및 중요도 샘플링을 사용하여 빈 복소수 입력 모델 하에서의 구조적 신뢰도 분석 수행.
• 정확도 및 편향 평가를 위해 몬테카를로 시뮬레이션으로부터 확보된 기준 솔루션과 결과를 검증.
• 모듈러하고 일반화 가능한 프레임워크 설계를 통해 다양한 UQ 방법과의 호환성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 의존성이 있는 시스템에서 빈 복소수 프레임워크는 정규 분포 가정 대비 불확실성 정량화 정확도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ2 엔지니어링 적용에서 제한된 입력 데이터로부터 빈 복소수가 복잡한 의존성 구조를 얼마나 정확하게 추론할 수 있는가?
• RQ3 제안된 프레임워크는 다항 혼합 및 신뢰도 분석과 같은 표준 UQ 방법과 원활하게 통합될 수 있는가?
• RQ4 빈 복소수를 사용하여 추정한 응답 통계 및 실패 확률은 몬테카를로 기준 솔루션과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 트러스 구조 모델에서 의존성 구조가 잘못 지정되었을 경우(예: 정규 분포 가정) UQ 결과에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 빈 복소수 프레임워크는 입력 의존성이 비정규일 경우 정규 분포 가정보다 응답 모멘트 추정치가 훨씬 더 정확하다.
• 제한된 관측 데이터 조건에서도 데이터 기반의 구조 학습을 통해 빈 복소수 모델이 시스템 응답 통계치를 정밀하게 추정할 수 있다.
• 빈 복소수를 사용한 구조적 신뢰도 분석은 정규 기반 방법에 비해 더 정확한 실패 확률 추정치를 제공하며, 후자는 심각한 편향을 보인다.
• 프레임워크는 다항 혼합 전개 및 신뢰도 방법과 성공적으로 통합되어 다양한 UQ 기법에 대한 광범위한 적용 가능성을 입증한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션은 강력한 기준 솔루션으로서 기능하며, 빈 복소수가 통계 모멘트 및 실패 확률 예측의 편향을 감소시킴을 확인한다.
• 결과는 실제 복잡한 입력 의존성이 있는 공학 시스템에서 정규 의존성 가정이 잘못된 UQ 결과를 초래할 수 있음을 확인한다.