[논문 리뷰] A groupoid generalization of Leavitt path algebras

Lisa Orloff Clark, Cynthia Farthing외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 13인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act하고 하우스도르프이며, 전체적으로 분리된 군oids G에 대해, 연속적인 코페이클 쐐기 함수를 갖는 국소 위상동형 사상(source map)을 가진 군oids G에 대해, 군oids C*-대수 C*(G)의 밀집 *-부분대수 A(G)를 구성함으로써, Leavitt 경로 대수의 군oids 기반 일반화를 제안한다. 주요 기여는 A(G)가 컴팩트 열린 이분할의 표현에 대해 유일성을 가지며, G가 행렬이 유한한 그래프 또는 k-그래프에서 유래할 경우 A(G)가 Leavitt 경로 대수 또는 Kumjian-Pask 대수와 동형이 되며, A(G)에 대해 그레이드 유일성 정리가 확립된다는 것이다.

ABSTRACT

Let G be a locally compact, Hausdorff groupoid in which s is a local homeomorphism and the unit space is totally disconnected. Assume there is a continuous cocycle c from G into a discrete group $Γ$. We show that the collection A(G) of locally-constant, compactly supported functions on G is a dense *-subalgebra of C_c(G) and that it is universal for algebraic representations of the collection of compact open bisections of G. We also show that if G is the groupoid associated to a row-finite graph or k-graph with no sources, then A(G) is isomorphic to the associated Leavitt path algebra or Kumjian-Pask algebra. We prove versions of the Cuntz-Krieger and graded uniqueness theorems for A(G).

연구 동기 및 목표

• 위상군oids를 이용하여 Leavitt 경로 대수와 Kumjian-Pask 대수를 일반화한다.
• G의 컴팩트 열린 이분할의 표현에 대해 유일성을 가지는 밀집 *-부분대수 A(G)를 군oids C*-대수 C*(G)에 구성한다.
• 적절한 군oids 조건 하에서 A(G)에 대해 그레이드 유일성 정리를 확립한다.
• G가 행렬이 유한한 그래프 또는 k-그래프와 관련이 있을 경우 A(G)가 알려진 대수—Leavitt 경로 대수 또는 Kumjian-Pask 대수—를 회복함을 보인다.
• 군oids 설정에서 Cuntz-Krieger 및 그레이드 유일성 정리를 A(G)로 확장한다.

제안 방법

• G의 단위 공간이 전체적으로 분리되어 있고, 소스 사상이 국소 위상동형인 군oids G에서 정의된 국소적으로 상수인 복소수 값 함수들의 대수 A(G)를 정의한다.
• 군oids의 역원과 콘볼루션 곱을 이용해 A(G)에 *-대수의 구조를 부여한다.
• 연속적인 코페이클 c: G → Γ를 도입하여 A(G)에 Γ-중복 구조를 정의함으로써, 그레이드 표현의 연구를 가능하게 한다.
• A(G)가 G의 컴팩트 열린 이분할의 대수적 표현에 대해 유일성을 가짐을 증명한다.
• 비퇴화된 그레이드 표현이 G^(0)의 컴팩트 열린 부분집합에서 비영이면 단사임을 보여, 그레이드 유일성 정리를 확립한다.
• G가 행렬이 유한한 방향 그래프 또는 k-그래프와 관련된 군oids일 경우, A(G)가 해당 Leavitt 경로 대수 L_C(E) 또는 Kumjian-Pask 대수 KP_C(Λ)와 동형임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군oids 이론을 활용하여 Leavitt 경로 대수와 Kumjian-Pask 대수를 더 넓은 대수적 프레임워크로 통합할 수 있는가?
• RQ2 군oids G에 대해, 그에 관련된 대수 A(G)가 컴팩트 열린 이분할의 표현에 대해 유일성을 가지려면 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 어떤 조건에서 A(G)의 그레이드 표현이 단사성을 유지하며, Cuntz-Krieger 및 그레이드 유일성 정리를 일반화하는가?
• RQ4 A(G)는 군oids C*-대수 C*(G)와 어떻게 관련되어 있으며, G의 C*-대수적 구조에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 다이나믹스 시스템에서 유래하는 군oids, 예를 들어 전단사 국소 위상동형으로 정의된 군oids에 대해 A(G)를 구성하고, 알려진 대수들과의 동형성을 보일 수 있는가?

주요 결과

• A(G)는 C*(G)의 밀집 *-부분대수이며, 군oids C*-대수에 대한 자연스러운 대수적 모델을 제공한다.
• A(G)는 G의 컴팩트 열린 이분할의 대수적 표현에 대해 유일성을 가지며, 임의의 그러한 표현이 A(G)를 통해 유일하게 인자분해됨을 의미한다.
• G가 행렬이 유한한 방향 그래프와 관련된 군oids일 경우, A(G)는 Leavitt 경로 대수 L_C(E)와 동형이다.
• G가 원천이 없는 k-그래프와 관련된 군oids일 경우, A(G)는 Kumjian-Pask 대수 KP_C(Λ)와 동형이다.
• A(G)에 대해 그레이드 유일성 정리가 성립한다: G^(0)의 컴팩트 열린 부분집합에서 비영인 비퇴화된 그레이드 표현은 단사이다.
• Cuntz-Krieger 유일성 정리는 A(G)로 일반화되어, G^(0)의 컴팩트 열린 부분집합에서 비영인 표현은 단사임을 보장한다.