[논문 리뷰] A Hermite-like basis for faster matrix-free evaluation of interior penalty discontinuous Galerkin operators

Martin Kronbichler, Katharina Kormann외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 높은 차수의 비연속 갈레르킨 방법을 위한 허미트 유사 기저를 소개한다. 이 기저는 각 면당 하나의 함수 값과 하나의 도함수 값으로 스텐실 폭을 제한함으로써 이웃 데이터 접근을 줄이며, 행렬 비례 연산자의 빠른 평가를 가능하게 한다. 이 기저는 텐서곱과 합성 인자 분해를 통해 허미트와 재귀다항식 기반의 노달 함수를 조합하여 구성되며, 다항식 차수 5–10 범위에서 MPI 병렬화에서 기존의 노달 기저 대비 최대 2배 빠른 성능을 달성한다. 기저 변환은 현대 하드웨어의 메모리 대역폭에 의해 숨겨져 있다.

ABSTRACT

This work proposes a basis for improved throughput of matrix-free evaluation of discontinuous Galerkin symmetric interior penalty discretizations on hexahedral elements. The basis relies on ideas of Hermite polynomials. It is used in a fully discontinuous setting not for higher order continuity but to minimize the effective stencil width, namely to limit the neighbor access of an element to one data point for the function value and one for the derivative. The basis is extended to higher orders with nodal contributions derived from roots of Jacobi polynomials and extended to multiple dimensions with tensor products, which enable the use of sum factorization. The beneficial effect of the reduced data access on modern processors is shown. Furthermore, the viability of the basis in the context of multigrid solvers is analyzed. While a plain point-Jacobi approach is less efficient than with the best nodal polynomials, a basis change via sum-factorization techniques enables the combination of the fast matrix-vector products with effective multigrid constituents. The basis change is essentially for free on modern hardware because these computations can be hidden behind the cost of the data access.

연구 동기 및 목표

• 고차수 스킴에서 넓은 스텐실로 인해 발생하는 행렬 비례 비연속 갈레르킨 방법의 높은 메모리 대역폭 비용을 해결한다.
• 행렬 비례 비연속 갈레르킨에서 이웃 데이터 접근을 줄이기 위해 각 면당 효과적인 스텐실 폭을 하나의 함수 값과 하나의 도함수 값으로 최소화한다.
• 합성 인자 분해를 통해 빠른 행렬-벡터 곱셈을 가능하게 하면서도 표준 적분과의 일致성을 유지하는 기저를 개발한다.
• 빠른 행렬 비례 평가와 기저 전환을 통합함으로써 효율적인 멀티그리드 솔버를 가능하게 한다.
• 현대 하드웨어의 높은 FLOP/Byte 비율을 고려해 기저 전환이 메모리 액세스 뒤에 계산적으로 숨겨질 수 있도록 보장한다.

제안 방법

• 각 면에서 함수 값과 첫 번째 도함수의 연속성을 강제하는 허미트 유사 기저를 육면체 요소에 대해 제안하며, 이는 이웃 상호작용을 최소화한다.
• 노달 자유도를 위해 재귀다항식의 근을 사용하고, 데이터 액세스를 최소화하기 위해 이를 허미트 유형 함수와 조합한다.
• 텐서곱을 통해 다차원으로 확장하여 합성 인자 분해에 필요한 구조를 유지한다.
• 합성 인자 분해를 적용하여 셀당 O(pd+1) 복잡도를 달성하고, 자유도당 산술 연산 수를 O(p)로 줄인다.
• 스무스너에서 사용하기 위해 허미트 유사 기저에서 노달 기저(예: 가우스-로바토)로의 기저 전환을 구현하며, 이 변환은 메모리 대역폭 뒤에 숨겨진다.
• 멀티그리드 솔버에서 성능을 평가하기 위해 점-자코비 및 블록-자코비 조절자를 사용한 체비셰프 반복을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허미트 유사 기저는 정확도나 일치성 손실 없이 행렬 비례 비연속 갈레르킨 이산화에서 이웃 데이터 접근을 줄일 수 있는가?
• RQ2 제안된 기저는 고차수 비연속 갈레르킨 방법에서 기존의 노달 기저 대비 더 빠른 행렬-벡터 곱셈을 가능하게 하는가?
• RQ3 효율적인 멀티그리드 스무스너를 위해 필요한 기저 전환이 현대 프로세서에서 메모리 대역폭 뒤에 숨겨질 수 있는가?
• RQ4 다항식 차수 5–10 범위에서 오픈엠피 및 MPI 병렬화에서 허미트 유사 기저의 성능은 노달 기저와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 감소된 스텐실 폭은 행렬 비례 비연속 갈레르킨 해법에서 캐시 효율성과 메모리 대역폭 활용도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 허미트 유사 기저는 각 면당 하나의 함수 값과 하나의 도함수 값으로 이웃 데이터 접근을 줄여 효과적인 스텐실 폭을 크게 제한한다.
• 다항식 차수 5–10 범위에서, MPI 전용 병렬화에서 기존의 노달 기저 대비 최대 2배 빠른 성능을 달성한다.
• 오픈엠피 병렬화에서는 동일한 다항식 차수 범위에서 노달 기저 대비 8–20% 향상된 성능을 제공한다.
• 예비 조절을 위한 기저 전환은 현대 하드웨어에서 거의 비용이 들지 않으며, 체비셰프 반복 루프 내에서 메모리 전송 비용 뒤에 숨겨져 있다.
• 완전히 통합된 체비셰프 반복에서 p=8일 때 성능은 5.0 GDoF/s의 스루풋을 기록했으며, 행렬-벡터 곱셈이 분리된 경우 3.6 GDoF/s보다 높다.
• 성능 향상은 데이터 접근 감소가 직접적으로 높은 효과적 스루풋으로 이어지는 메모리 대역폭 제한 영역에서 가장 두드러진다.