[논문 리뷰] A Homotopy Theory for Graphs

Eric Babson, Hélène Barcelo외 2명|ArXiv.org|2004. 03. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 그래프에 대한 호모토피 이론을 구축하기 위해 무한 차원의 세포 복합체 $X_\Gamma$ 를 구성함으로써, 삼등분의 근사 정리의 입방체 버전이 성립할 경우, 그래프 $\Gamma$ 의 $n$-번째 $A$-군이 $X_\Gamma$ 의 $n$-번째 고전적 호모토피 군과 동형임을 보인다. 핵심 기여는 $A_{n+1}(\Gamma)$ 와 $A_n(\Omega\Gamma)$ 사이의 자연스러운 동형사상으로, 고전적 루프 공간 호모토피 동치와 유사하다.

ABSTRACT

The recently introduced A-homotopy groups for graphs are investigated. The main concern of the present article is the construction of an infinite cell complex, the homotopy groups of which are isomorphic to the A-homotopy groups of the given graph. We present a natural candidate for such a cell complex, together with a homomorphism between the corresponding groups that indeed yields an isomorphism, if a cubical analog of the simplicial approximation theorem holds, which - so far - we were unable to prove.

연구 동기 및 목표

• 삼등분 복합체의 $A$-이론을 그래프로 일반화하기 위해 위상적 모델 공간을 구성하는 것.
• 기본점 $v_0$ 를 고정한 $A_n(\Gamma, v_0)$ 군에서 고전적 호모토피 군 $\pi_n(X_\Gamma, v_0)$ 으로의 호모모르피즘을 수립하는 것.
• 유력한 입방체 버전의 삼등분 근사 정리가 성립할 경우, 이 호모모르피즘이 동형임을 증명하는 것.
• 루프 그래프 구조를 도입하고, $A$-군에 대해 루프 공간 유형의 동형사상을 증명함으로써 이론을 확장하는 것.
• singular homology 를 통한 $X_\Gamma$ 의 호몰로지 이론을 $A$-이론과 연결하는 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 이전의 구성 방식을 일반화하여, 그래프 $\Gamma_q(\Delta)$ 의 모든 3-사이클과 4-사이클에 2-세포를 부착함으로써 모델 공간 $X_\Gamma$ 를 구성한다.
• $A_n(\Gamma, v_0)$ 를 $n$-입방체 $I^n_m$ 에서 $\Gamma$ 로의 그래프 호모모르피즘의 호모토피 동치류의 집합으로 정의하며, 경계와 기저점은 고정한다.
• 경로 그래프 $I_m$ 의 카르테시안 곱을 이용해 고차원 입방체를 정의하고, 그래프 호모모르피즘을 통해 호모토피를 정의한다.
• 루프 그래프 $\Omega\Gamma$ 를 정의하며, 그 정점들은 $\Gamma$ 의 루프들이다. 그리고 $\alpha: A_n(\Omega\Gamma) \to A_{n+1}(\Gamma)$ 를 정의한다.
• 명시적인 $A$-호모토피를 구성하고 경계 확장 성질을 이용하여 $[f] \mapsto [\alpha(f)]$ 의 자연성과 전단사성을 증명한다.
• 등장하는 주요 가정으로서, 삼등분 근사 정리의 입방체 버전(성질 6.1)을 활용하여 동형사상 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프의 $A$-호모토피 군이 그래프로부터 구성된 위상공간의 고전적 호모토피 군과 자연스럽게 동형이 될 수 있는가?
• RQ2 $A$-이론이 무한 세포 복합체 $X_\Gamma$ 를 통해 그래프에 대해 위상적 실현을 갖는가?
• RQ3 그래프에 대해 루프 공간 구조 $\Omega\Gamma$ 가 존재하여 $A_{n+1}(\Gamma) \cong A_n(\Omega\Gamma)$ 가 성립하는가? 이는 고전적 호모토피 이론과 유사하다.
• RQ4 자연스러운 호모모르피즘 $A_n(\Gamma) \to \pi_n(X_\Gamma)$ 가 동형이 되도록 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 $A$-이론이 $k$-등장 배치와 같은 부분공간 배열의 여부와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• $X_\Gamma$ 가 구성된 세포 복합체에서의 고전적 호모토피 군 $\pi_n(X_\Gamma, v_0)$ 와 $A_n(\Gamma, v_0)$ 군이 입방체 버전의 삼등분 근사 정리가 성립할 경우 동형임을 보였다.
• $\alpha(f)(x,y) = f(x)(y)$ 로 정의된 $\alpha: A_n(\Omega\Gamma) \to A_{n+1}(\Gamma)$ 는 $A_{n+1}(\Gamma)$ 와 $A_n(\Omega\Gamma)$ 사이의 자연스러운 동형사상을 유도한다.
• $\Gamma_q(\Delta)$ 의 3-사이클과 4-사이클에 2-세포를 부착함으로써 $X_\Gamma$ 를 구성함으로써, $A_1$-군이 얻어진 공간의 기본군으로 실현된다.
• $A$-호모토피 군은 $A$-호모토피에 의해 유도되는 동치관계에 대해 잘 정의되어 있으며, $n \geq 1$ 에서 군의 구조를 이룬다.
• 루프 그래프 $\Omega\Gamma$ 는 $\Gamma$ 의 루프들의 그래프로 정의되며, $A$-이론은 고전적 호모토피 이론과 유사한 루프 공간 대칭성을 만족한다.
• $A_0(\Omega G)$ 에서 $A_1(G)$ 로 가는 자연스러운 사상은 루프의 연결 성분을 그 호모토피 동치류로 보내며, 이는 잘 정의된 전단사이다.