[논문 리뷰] A Hybrid High-Order method for nonlinear elasticity

Michele Botti, Daniele A. Di Pietro외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 소변형 영역에서 비선형 탄성에 대한 새로운 하이브리드 고차원(HHO) 방법을 제안한다. 메시 요소와 면에서 불연속 다항식 자유도를 사용하여 고차 정확도, 다면체 메시, 정적 축소를 가능하게 한다. 이 방법은 국소 가상일 원리와 작용-반작용 준수를 보장하며, 일반적인 비선형 응력-변형률 법칙에 대해 최적 수렴 속도가 증명된다.

ABSTRACT

In this work we propose and analyze a novel Hybrid High-Order discretization of a class of (linear and) nonlinear elasticity models in the small deformation regime which are of common use in solid mechanics. The proposed method is valid in two and three space dimensions, it supports general meshes including polyhedral elements and nonmatching interfaces, enables arbitrary approximation order, and the resolution cost can be reduced by statically condensing a large subset of the unknowns for linearized versions of the problem. Additionally, the method satisfies a local principle of virtual work inside each mesh element, with interface tractions that obey the law of action and reaction. A complete analysis covering very general stress-strain laws is carried out, and optimal error estimates are proved. Extensive numerical validation on model test problems is also provided on two types of nonlinear models.

연구 동기 및 목표

• 소변형 영역에서 비선형 탄성 문제를 위한 강력하고 고차원 이산화 방법을 개발한다.
• 일반적인 다면체 메시와 일치하지 않는 인터페이스를 지원하여 복잡한 기하 구조와 적응적 메시 세분화에서의 유연성을 높인다.
• 임의의 다항식 차수에서 최적 수렴 속도를 확보하면서 정적 축소를 통해 계산 비용을 줄인다.
• 국소 보존 성질을 보장하며, 각 요소 내에서 국소 가상일 원리와 인터페이스에서의 작용-반작용 준수를 포함한다.
• 일반적인 비선형 응력-변형률 법칙, 특히 공 ingeneering 실무에서 흔히 사용되는 법칙에 대한 완전한 수렴 분석을 제공한다.

제안 방법

• 메시 요소와 면에서 $k \geq 1$ 차수의 불연속 다항식 자유도를 사용하여 고차 정확도와 국소 재구성 가능성을 확보한다.
• 국소 재구성 연산자는 자유도 기반으로 요소별 손실 문제를 풀어 이산 대칭 기울기와 변위를 계산한다.
• 약한 수식은 일致성 항(이중 기울기를 그 이산 대체물로 대체)과 면 기반 잔차를 벌어지게 하는 안정화 항으로 구성된다.
• 안정화 항은 이산 응력과 인장장의 점프를 제어함으로써 안정성과 최적 수렴을 보장한다.
• 선형화된 문제에 대해 정적 축소를 지원하여 전역적으로 연결된 자유도의 수를 줄이고 계산 효율성을 향상시킨다.
• 이산 수식은 각 요소 내에서 국소 가상일 원리를 만족하며, 수치적 인장력은 인터페이스를 가로질러 작용-반작용 법칙을 따르게 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이브리드 고차원 방법이 최소한의 정규성 가정 하에 일반적인 비선형 탄성 모델에서 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 HHO 방법은 다면체 메시와 일치하지 않는 인터페이스에서 고차 정확도를 유지하면서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 비선형 영역에서 국소 보존 성질, 예를 들어 가상일 원리와 작용-반작용 원리의 유지 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 비선형 탄성에 대한 HHO 이산화에 정적 축소를 효과적으로 적용하여 계산 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ5 강한 비선형성을 보이는 응력-변형률 법칙(예: 연성 재료나 금속 합금에서 흔한 법칙)에 대해 HHO 방법의 수렴 거동는 어떠한가?

주요 결과

• 일般적인 비선형 응력-변형률 법칙 하에서 이산화 에너지 노름에서 변위 및 응력장에 대해 $h^{k+1}$ 차수의 최적 수렴 속도가 증명된다.
• 변위에 대해 $H^1$-노름에서, 응력에 대해 $L^2$-노름에서 수렴 속도가 $\mathcal{O}(h^{k+1})$로 최적 수렴을 달성한다.
• 표준 메시 조건 하에서 이산 코른 부등식이 성립하여 이산 문제의 안정성과 잘 정의됨을 보장한다.
• 수치 실험을 통해 강한 비선형성 하에서도 우수한 성능을 보이며, 이론적 예측과 일치하는 수렴 속도를 확인한다.
• 이 방법은 임의의 다항식 차수 $k \geq 1$와 일반적인 다면체 메시(휴리지 노드 및 비일치 인터페이스 포함)를 지원한다.
• 정적 축소로 전역적으로 연결된 자유도의 수가 감소하여 비선형 해법에서 뉴턴 반복의 효율성이 크게 향상된다.