[논문 리뷰] A Hybrid Quantum-Classical CFD Methodology with Benchmark HHL Solutions

Leigh Lapworth|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2차원 리벳 구동 캐비티 유동을 위한 HHL 양자 선형 해법기를 사용하여 단순화된 알고리즘(SIMPLE 알고리즘)에 기반한 하이브리드 양자-고전적 CFD 해법기를 제시한다. 행렬 해법을 가속화하기 위해 HHL 양자 선형 해법기를 사용하며, 동적 CFD 행렬에 대해 LCU 계수를 재계산하는 효율적인 방법을 도입하여 벤치마크 HHL 해법을 제시하고, 양자 우월성을 달성하기 위해 고전적 사전처리 시간이 양자 런타임과 동일하게 중요한 것으로 드러났다.

ABSTRACT

There has been significant progress in the development of quantum algorithms for solving linear systems of equations with a growing body of applications to Computational Fluid Dynamics (CFD) and CFD-like problems. This work extends previous work by developing a non-linear hybrid quantum-classical CFD solver and using it to generate fully converged solutions. The hybrid solver uses the SIMPLE CFD algorithm, which is common in many industrial CFD codes, and applies it to the 2-dimensional lid driven cavity test case. A theme of this work is the classical processing time needed to prepare the quantum circuit with a focus on the decomposition of the CFD matrix into a linear combination of unitaries (LCU). CFD meshes with up to 65x65 nodes are considered with the largest producing a LCU containing 32,767 Pauli strings. A new method for rapidly re-computing the coefficients in a LCU is proposed, although this reduces, rather than eliminates, the classical scaling issues. The quantum linear equation solver uses the Harrow, Hassidim, Lloyd (HHL) algorithm via a state-vector emulator. Test matrices are sampled from the classical CFD solver to investigate the solution accuracy that can be achieved with HHL. For the smallest 5x5 and 9x9 CFD meshes, full non-linear hybrid CFD calculations are performed. The impacts of approximating the LCU and the varying the number of ancilla rotations in the eigenvalue inversion circuit are studied. Preliminary timing results indicate that the classical computer preparation time needed for a hybrid solver is just as important to the achievement of quantum advantage in CFD as the time on the quantum computer. The reported HHL solutions and LCU decompositions provide a benchmark for future research. The CFD test matrices used in this study are available upon request.

연구 동기 및 목표

• 2차원 유동 문제를 위한 산업 표준인 SIMPLE 알고리즘을 사용하여 비선형 하이브리드 양자-고전적 CFD 해법기를 개발한다.
• 특히 희박한 CFD 행렬에 대한 LCU 분해를 포함해, 양자 CFD에서 고전적 사전처리의 계산 블로킹 문제를 해결한다.
• 향후 양자 CFD 연구를 위한 재현 가능한 HHL 해법 및 LCU 분해의 벤치마크를 제공한다.
• LCU 근사와 앤시라 라운드 수가 HHL 해법 정확도에 미치는 영향을 평가한다.
• 양자 우월성을 달성하기 위해 고전적 런타임과 양자 런타임의 상대 기여도를 정량화한다.

제안 방법

• 2차원 리벳 구동 캐비티 시험 케이스에서 나비에-스토크스 방정식을 선형화하기 위해 SIMPLE 알고리즘을 사용하여 반복적인 비선형 CFD 해법에 양자 선형 해법을 적용한다.
• 각 SIMPLE 반복에서 선형화된 시스템을 해법하기 위해 상태벡터 에뮬레이터를 사용하여 HHL 알고리즘을 시뮬레이션한다.
• 희박성 패턴과 파울리 행렬의 수직성 특성을 활용하여 빠르게 LCU 계수를 재계산하는 새로운 방법을 적용하여 고전적 사전처리 오버헤드를 감소시킨다.
• 각 클러스터가 동일한 희박성 패턴을 공유하고, 단위행렬 계수는 $ U^T U = 2^n I $로 행렬 역행렬을 통해 계산하는 클러스터 기반 접근 방식을 사용하여 CFD 행렬을 선형 조합 단위로 분해한다.
• 항등식 $ (U^T U)_{ij} = \text{prod}_k G_H(P_{i,k}, P_{j,k}) $ 를 이용하여 $ U^T U = 2^n I $ 를 증명하고, 이로 인해 $ \boldsymbol{\alpha} = \frac{1}{2^n} U^T \hat{H} $ 를 통한 직접 계수 계산이 가능하다.
• LCU 항목을 클러스터당 1바이트 정수($ \text{int8}_t $)와 희박 인덱싱을 사용하여 저장하여, 트레이스 수직성 방법 대비 저장소를 절감한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LCU 근사와 고유값 역행렬에 사용된 앤시라 큐비트 수에 따라 HHL 해법의 정확도는 어떻게 변하는가?
• RQ2 변하는 CFD 행렬에 대해 LCU 분해를 생성하는 데 드는 고전적 사전처리 비용은 얼마이며, 메esh 크기와 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 하이브리드 양자-고전적 CFD 해법기가 비선형 반복 프레임워크 내에서 HHL을 선형 해법으로 사용하여 완전히 수렴한 해를 달성할 수 있는가?
• RQ4 제안된 LCU 계수 재계산 방법은 전체 재계산 대비 고전적 오버헤드를 얼마나 감소시키는가?
• RQ5 양자 우월성을 달성하기 위해 고전적 사전처리 시간과 양자 런타임의 상대 기여도는 어떻게 결정되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 HHL을 선형 해법기로 사용하여 $ 5\times5 $ 및 $ 9\times9 $ 메쉬에 대해 완전한 비선형 하이브리드 CFD 시뮬레이션을 성공적으로 수행하였다.
• $ 65\times65 $ 메쉬의 경우, LCU 분해에 최대 32,767개의 파울리 스트링이 포함되어 있어 대규모 CFD 시스템으로의 확장 가능성을 입증하였다.
• 제안된 LCU 계수 재계산 방법은 고전적 스케일링 오버헤드를 감소시키지만 완전히 제거하지 못하여, 사전처리 단계가 여전히 핵심 블로킹 요소임을 드러냈다.
• 양자 회로 설정을 위한 고전적 준비 시간이 양자 런타임과 동일하게 중요함을 입증하여, CFD에서의 양자 우월성을 달성하기 위해 필수적임을 보여주었다.
• $ U^T U = 2^n I $ 를 사용함으로써 $ \boldsymbol{\alpha} = \frac{1}{2^n} U^T \hat{H} $ 를 통한 정확하고 효율적인 계수 계산이 가능해졌으며, $ \pm1 $ 값은 1바이트 정수로 저장되었다.
• 본 연구는 향후 양자 CFD 연구에서 검증 및 비교를 위한 HHL 해법 및 LCU 분해의 공개 벤치마크를 제공하였다.