[논문 리뷰] A Kalman Filtering approach of improved precision for fault diagnosis in distributed parameter systems

Gerasimos Rigatos|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 12.

Fault Detection and Control Systems참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 1차원 비선형 파동 PDE로 기술되는 분포 매개변수 시스템에서의 고장 진단을 위한 도함수 기반 비선형 칼만 필터링 접근법을 제안한다. 미분 평탄성 이론을 활용해 PDE를 선형 캐논리컬 형식으로 변환함으로써, 자코비안 행렬을 계산하지 않고도 표준 칼만 필터링을 통해 정확한 상태 추정이 가능해지며, 잔차에 대한 局소 통계적 $χ^2$ 검정을 통해 1% 미만의 매개변수 변화를 조기에 감지할 수 있다.

ABSTRACT

The Derivative-free nonlinear Kalman Filter is proposed for state estimation and fault diagnosis in distributed parameter systems and particularly in dynamical systems described by partial differential equations of the nonlinear wave type. At a first stage, a nonlinear filtering approach for estimating the dynamics of a 1D nonlinear wave equation, from measurements provided from a small number of sensors is developed. It is shown that the numerical solution of the associated partial differential equation results into a set of nonlinear ordinary differential equations. With the application of diffeomorphism that is based on differential flatness theory it is shown that an equivalent description of the system is obtained in the linear canonical (Brunovsky) form. This transformation enables to obtain local estimates about the state vector of the system through the application of the standard Kalman Filter recursion. At a second stage, the local statistical approach to fault diagnosis is used to perform fault diagnosis for the distributed parameters system by processing with elaborated statistical tools the differences (residuals) between the output of the Kalman Filter and the measurements obtained from the distributed parameter system. Optimal selection of the fault threshold is succeeded by using the local statistical approach to fault diagnosis. The efficiency of the proposed filtering approach for performing fault diagnosis in distributed parameters systems is confirmed through simulation experiments.

연구 동기 및 목표

• 비선형 PDE로 기술되는 분포 매개변수 시스템에서의 상태 추정 및 고장 진단 문제를 다루는 것.
• 무한 차원 시스템에 대한 기존 확장 칼만 필터링에서 발생하는 계산 복잡성과 수치 오차를 해결하는 것.
• 최소한의 센서 측정치를 사용하여 분포 시스템에서 정확한 고장 감지 및 고립을 가능하게 하는 것.
• 테일러 기반 비선형 필터에서 흔히 발생하는 자코비안 행렬 계산과 절단 오차를 피하는 방법을 개발하는 것.
• 칼만 필터 잔차의 통계적 처리를 통해 임계적인 매개변수 변화를 조기에 감지하는 것.

제안 방법

• 수치적 방법을 사용하여 비선형 PDE를 공간 이산화하여 비선형 상미분방정식의 집합으로 변환한다.
• 미분 평탄성 이론을 적용하여 비선형 상미분방정식을 선형 캐논리컬 (브루노브스키) 형식으로 변환하는 디오토피즘을 도출한다.
• 선형화된 시스템에 표준 칼만 필터 재귀식을 적용하여 자코비안 행렬이 필요 없이 정확한 상태 추정을 수행한다.
• 칼만 필터 출력과 분포 시스템의 실제 센서 측정치를 비교하여 잔차를 생성한다.
• 국소 통계적 고장 진단 접근법은 이러한 잔차를 $χ^2$ 검정을 통해 처리하여 매개변수의 이탈을 감지하고 고장 난 매개변수를 고립한다.
• 칼만 필터 출력의 ARMAX 모델을 사용하여 추정 오차 동역학을 표현함으로써, 회귀 기반 혁신 분석을 통한 통계적 고장 감지를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 비선형 파동 PDE로 기술되는 분포 매개변수 시스템에서 도함수 기반 비선형 칼만 필터를 상태 추정에 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 미분 평탄성 이론을 사용하여 비선형 PDE를 표준 칼만 필터링에 적합한 선형 캐논리컬 형식으로 변환할 수 있는가?
• RQ3 자코비안 행렬 계산과 절단 오차를 피하는 것으로 인해, 기존 확장 칼만 필터링보다 더 높은 추정 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 국소 통계적 접근법은 PDE 모델의 임계적인 매개변수 변화를 높은 민감도로 감지할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 PDE에서 어떤 특정 매개변수가 변화했는지 고립할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 도함수 기반 비선형 칼만 필터는 소수의 센서만으로도 1차원 비선형 파동 PDE의 상태를 성공적으로 추정한다.
• 이 방법은 자코비안 행렬과 편미분을 계산할 필요가 없어져 계산 복잡성과 수치 오차를 감소시킨다.
• 국소 통계적 접근법을 사용한 $χ^2$ 검정은 명목값의 0.5% 수준까지도 작은 변화를 감지할 수 있었으며, 1% 미만의 변화에 대해서는 검정 통계량이 임계값을 수 차례 초과하는 결과를 보였다.
• $χ^2$ 검정은 모델링 오차의 도함수를 포함하여 정규화된 제곱 오차 및 평균 오차 검정보다 우수한 성능을 보였으며, 이는 더 이른 고장 감지를 가능하게 했다.
• 이 방법은 필터 추정치와 실제 측정치 간의 이탈 원인이 되는 특정 매개변수($K$)를 성공적으로 고립하였다.
• 시뮬레이션 결과는 이 방법이 비선형 파동 PDE로 제어되는 분포 매개변수 시스템에서의 매개변수 변화 감지 및 고립에 효과적임을 확인하였다.