[논문 리뷰] A local to global principle for densities over function fields

Giacomo Micheli|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 p-진 측도 이론을 사용하여 함수체에서 부분집합의 밀도를 계산하는 국소-글로벌 원리 수립을 통해, Poonen과 Stoll의 걸러내기 방법을 전역 함수체로 확장한다. 전체적으로 분할된 확장과 직사각형 단위행렬의 밀도에 대한 명시적 공식을 도출하며, 후자의 밀도가 함수체의 제타 L다항식의 유리함수임을 보여준다.

ABSTRACT

Let $d$ be a positive integer and $\mathbb H$ be an integrally closed subring of a global function field $F$. The purpose of this paper is to provide a general sieve method to compute densities of subsets of $\mathbb H^d$ defined by local conditions. The main advantage of the method relies on the fact that one can use results from measure theory to extract density results over $\mathbb H^{d}$. Using this method we are able to compute the density of the set of polynomials with coefficients in $\mathbb H$ which give rise to "good" totally ramified extensions of the global function field $F$. As another application, we give a closed expression for the density of rectangular unimodular matrices with coefficients in $\mathbb H$ in terms of the $L$-polynomial of the function field.

연구 동기 및 목표

• 전역 함수체의 정수적 폐쇄된 부분환에서의 밀도 계산을 위한 일반적인 걸러내기 방법을 개발하는 것.
• Poonen과 Stoll의 p-진 걸러내기 방법을 수체에서 함수체로 확장하는 것.
• 함수체에서 '좋은' 전체적으로 분할된 확장을 유도하는 다항식의 밀도를 계산하는 것.
• 함수체의 정수적 폐쇄된 부분환에서 k×m 단위행렬의 밀도를 결정하는 것.
• 이 밀도에 대한 닫힌 표현식을 함수체의 L다항식을 통해 제공하는 것.

제안 방법

• 홀로모르피 집합 왖/outside 지원을 갖는 양의 인피터의 지향 집합 위에서 Moore-Smith 수렴을 사용하여 밀도를 정의한다.
• 각 장소 P ∈ S에 대해 p-진 측도 이론을 적용하여 국소 밀도를 계산한다.
• 곱 공식을 통해 국소-글로벌 원리를 수립한다: D_S(U) = ∏_{P∈S} (1 - μ_P(U_P)).
• 전역 밀도 계산을 위해 한도 조건(식 2.1)이 0으로 수렴함을 보여주는 것으로 환원하며, 이는 다항식으로 정의된 국소 조건에 대해 증명된다.
• 리만-로흐 공간 L(D)의 구조를 Z^d의 초입방형과 유사하게 사용하여 점근적 밀도를 정의한다.
• 정리 2.3을 적용하여, 장소 P에 대한 랭크가 전부 아닌 축소의 측도를 분석함으로써 단위행렬에 대한 수렴 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p-진 분석과 측도 이론을 사용하여 수체에서 함수체로의 국소-글로벌 원리에 대한 밀도를 확장할 수 있는가?
• RQ2 함수체 F의 '좋은' 전체적으로 분할된 확장을 유도하는 H ⊂ F의 정수적 폐쇄 부분환 H에 속한 다항식의 밀도는 무엇인가?
• RQ3 함수체의 제타 함수를 통해 H 위에서의 k×m 단위행렬의 밀도는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ4 걸러내기 방법에서 한도 조건이 어떤 조건에서 사라지며, 이는 국소-글로벌 원리가 성립함을 보장하는가?
• RQ5 단위행렬의 밀도는 함수체의 L다항식의 유리함수로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• H^d에 속한 다항식의 집합 중 '좋은' 전체적으로 분할된 확장을 유도하는 밀도는 홀로모르피 집합 S에 속한 장소들에 대한 곱으로 주어진다.
• H 위에서의 직사각형 단위행렬에 대해 밀도는 ∏_{i=0}^{k-1} 1/ζ_H(m−i)로 명시적으로 계산되며, 여기서 ζ_H는 H의 제타 함수이다.
• H = F_q[x]일 때, k×m 단위행렬의 밀도는 ∏_{i=m−k+1}^{m} (q^{i−1}−1)/q^{i−1}로 주어지며, 이는 유리수이다.
• 이 방법은 다항식으로 정의된 국소 조건에 대해 한도 조건(식 2.1)이 0으로 수렴함을 증명하여 국소-글로벌 원리의 타당성을 입증한다.
• 기존의 Z에 대한 결과를 함수체로 확장하며, 단위행렬 밀도에 대한 닫힌 표현식을 제공한다.
• 이 접근은 세르의 추측과 이전의 전역체에서의 단위행렬에 대한 결과와 일관된다.