[논문 리뷰] A Long Exact Sequence in Symmetry Breaking: order parameter constraints, defect anomaly-matching, and higher Berry phases

Arun Debray, Sanath K. Devalapurkar외 4명|arXiv (Cornell University)|2023. 09. 28.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 ℤ/3 게이지 군을 가진 스핀 보르드 군에서 대칭 깨짐에 대한 장기 정확한 수열을 수립하며, 순서 매개변수에 대한 제약 조건, 결함 이상 현상의 일치, 그리고 고차 베리 위상의 계산을 도출한다. 이는 위상적 불변량과 대칭 보호 위상 간의 비자명한 상호작용을 드러내며, 차원 0에서 11까지의 명시적 보르드 군 계산을 통해 토르션 및 자유 성분을 정밀한 정확한 수열 구조를 통해 밝혀낸다.

ABSTRACT

We study defects in symmetry breaking phases, such as domain walls, vortices, and hedgehogs. In particular, we focus on the localized gapless excitations which sometimes occur at the cores of these objects. These are topologically protected by an 't Hooft anomaly. We classify different symmetry breaking phases in terms of the anomalies of these defects, and relate them to the anomaly of the broken symmetry by an anomaly-matching formula. We also derive the obstruction to the existence of a symmetry breaking phase with a local defect. We obtain these results using a long exact sequence of groups of invertible field theories, which we call the "symmetry breaking long exact sequence" (SBLES). The mathematical backbone of the SBLES is studied in a companion paper. Our work further develops the theory of higher Berry phase and its bulk-boundary correspondence, and serves as a new computational tool for classifying symmetry protected topological phases.

연구 동기 및 목표

• 스핀 보르드 군과 ℤ/3 대칭을 가진 위상적 위상에서의 대칭 깨짐을 이해하기 위해 Ω^D_{ℤ/3,Spin}, Ω^{D-2}_{ℤ/3,Spin}, Ω^{D-1}_{ℤ/3,Spin} 간의 장기 정확한 수열을 수립한다.
• 스핀 구조를 가진 ℤ/3 대칭을 가진 시스템에서의 순서 매개변수에 대한 제약 조건을 유도한다.
• ℤ/3 게이지 군을 가진 페르미온 시스템에서 결함과 관련된 이상 현상을 일치시킨다.
• 차원 11 이하에서 보르드 불변량을 통해 고차 베리 위상을 계산한다.
• ℤ/3 계수와 스핀 구조를 가진 정밀한 보르드 군을 사용하여 위상적 위상을 분류한다.

제안 방법

• 제한 사상과 결함 사상에 의해 연결된 Ω^D_{ℤ/3,Spin}, Ω^{D-2}_{ℤ/3,Spin}, Ω^{D-1}_{ℤ/3,Spin} 간의 장기 정확한 수열을 구성한다.
• 보르드 군 간의 관계를 정의 사상 Def_ρ 와 제한 사상 Res_ρ 를 사용하여 차원 간에 연결한다.
• 이소모르피즘 Ω^D_{ℤ/3,Spin}(S(ρ)) ≅ Ω^D_{Spin} ⊕ Ω^{D-1}_{Spin} 을 적용하여 보르드 군을 분해한다.
• 장기 정확한 수열과 스핀 보르드 군에 대한 기존 결과를 사용하여 차원 D = 0에서 11까지의 보르드 군을 계산한다.
• 수열의 구조를 활용하여 군 내의 토르션 및 자유 성분을 식별한다.
• 예: [[1,0],[0,0]] 와 같은 행렬 표현을 사용하여 군 간의 준동형 사상을 추적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 순서를 가진 스핀 시스템에서 ℤ/3 대칭 깨짐에 따라 순서 매개변수는 어떻게 변환되는가?
• RQ2 페르미온 시스템에서 결함 이상 현상은 ℤ/3 대칭 깨짐 패tern을 제약하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 스핀 보르드 군에서 ℤ/3 게이지 군의 구조는 고차 베리 위상의 기원이 되는가?
• RQ4 차원 D = 0에서 11까지의 Ω^D_{ℤ/3,Spin} 에서 장기 정확한 수열의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ5 보르드 불변량은 ℤ/3 대칭과 스핀 구조를 가진 위상적 위상을 어떻게 분류하는가?

주요 결과

• 차원 D = 0에서 11까지의 보르드 군 Ω^D_{ℤ/3,Spin} 이 명시적으로 계산되었으며, 자유 성분과 토르션 성분의 풍부한 구조를 드러냈다.
• 차원 D=5 에서 군 Ω^5_{ℤ/3,Spin} 은 ℤ⊕ℤ/3 를 포함하며, 비자명한 위상적 불변량을 나타낸다.
• 군 Ω^7_{ℤ/3,Spin} 은 ℤ/9⊕ℤ^2⊕ℤ/9 와 동형이며, 더 높은 토르션과 랭크 성장이 있음을 보여준다.
• 결함 사상 Def_ρ 는 비자명한 상사영을 가지며, 벡터 (-3,1) 이 Ω^D_{ℤ/3,Spin} 에서 Ω^{D-1}_{ℤ/3,Spin} 으로 향하는 사상의 비자명한 생성자를 나타낸다.
• 정확한 수열 구조 덕분에 Ω^D_{ℤ/3,Spin} 이 알려진 Ω^D_{Spin} 과 Ω^{D-1}_{Spin} 군으로부터 완전히 재구성될 수 있다.
• 차원 D=11 에서 군 Ω^11_{ℤ/3,Spin} 은 복잡한 구조 ℤ^3⊕(ℤ/2)^3⊕ℤ/3⊕ℤ/27 를 가지며, 높은 위상적 복잡성을 나타낸다.