[논문 리뷰] A Markov Model of a Limit Order Book: Thresholds, Recurrence, and Trading Strategies

F. P. Kelly, Elena Yudovina|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 02.

Economic theories and models참고 문헌 22인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 포아송 도착을 갖는 지정가 주문에 의해 구동되는 해석 가능한 마르코프 모델을 제안하며, 균형 상태에서 최고 매수호가와 최저 매도호가를 둘러싸는 임계가격(κb 및 κa)의 존재를 확립한다. 이 모델은 이러한 가격에 대한 명시적 한계 분포 πb 및 πa를 유도하며, 이들이 균형 방정식 (1a)–(1b)를 만족함을 보이고, 유체 근사법을 통해 정상성을 증명함으로써 고빈도 거래 전략과 다양한 시장 메커니즘 하에서의 내쉬 균형 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We analyze a tractable model of a limit order book on short time scales, where the dynamics are driven by stochastic fluctuations between supply and demand. We establish the existence of a limiting distribution for the highest bid, and for the lowest ask, where the limiting distributions are confined between two thresholds. We make extensive use of fluid limits to establish recurrence properties of the model. We use the model to analyze various high-frequency trading strategies, and comment on the Nash equilibria that emerge between high-frequency traders when a market in continuous time is replaced by frequent batch auctions.

연구 동기 및 목표

• 짧은 시간 체계에서 해석 가능한 해를 갖는 지정가 주문호의 모델을 개발한다.
• 확률적 수요-공급 불균형 하에서 지정가 주문호의 최고 매수호 및 최저 매도호의 장기적 행동을 분석한다.
• 지정가 주문호의 한계 분포를 둘러싸는 임계가격(κb, κa)의 존재를 확립한다.
• 유체 근사 기법을 사용하여 바구니화된 모델의 정상성을 증명함으로써 정확한 분포 결과를 도출할 수 있도록 한다.
• 연속시장과 배치경매 시장에서의 다양한 시장 구조와 거래자 행동 하에서 고빈도 거래 전략—시장 메이킹, 스니핑, 혼합 전략—과 그 내쉬 균형을 분석한다.

제안 방법

• 지정가 주문호를 단위 속도로 독립적인 포아송 도착을 갖는 연속시간 마르코프 과정으로 모델링한다.
• 매수주문에 대해 f_b(x)의 i.i.d. 가격 분포와 매도주문에 대해 f_a(x)의 i.i.d. 가격 분포를 가정하며, 가격 우선순위 기반 매칭 규칙을 적용한다.
• 가격에서 주문이 매칭되는 유량과 그 가격에 신규 주문이 도착하는 유량을 동일시하는 균형 방정식 (1a) 및 (1b)를 유도한다.
• 유체 근사 근사를 사용하여 바구니화된 모델의 정상성을 확립하며, 이는 한계 분포 존재성을 증명하는 데 필수적이다.
• 다양한 시장 구조와 거래자 행동 하에서 명시적 수익률 계산을 통해 고빈도 거래 전략을 분석한다.
• 경쟁적 환경에서의 내쉬 균형을 연구한다: 시장 메이커와 스니퍼 간, 그리고 속도가 아닌 가격에 따라 경쟁하는 스니퍼들 간의 경쟁.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 가격 도착과 포아송 거래 하에서 지정가 주문호의 최고 매수호 및 최저 매도호의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ2 κb 및 κa와 같은 자연스러운 임계값이 존재하여, κb 이하의 가격은 매칭되지 않으며, κb 이상의 가격은 반복적으로 주문호에 존재하는가?
• RQ3 유체 근사 기법은 바구니화된 모델의 정상성을 어떻게 확립하여 정확한 분포 결과를 가능하게 하는가?
• RQ4 연속시장이 빈번한 배치경매로 대체될 경우, 고빈도 거래자 간에 나타나는 내쉬 균형은 무엇인가?
• RQ5 스니퍼 간 또는 시장 메이커와의 경쟁은 매도-매수 스프레드와 총 수익률에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최저 매도호의 한계 분포 πa(x) 및 최고 매수호의 한계 분포 πb(x)는 구간 (κb, κa)에서 정의되며, κb = 1 − κ, κa = κ이며, κ ≈ 0.218는 we^w = e^{-1}의 해로부터 유도된다.
• fa(x) = fb(x) = 1 이 (0,1)에서 성립하는 대칭 케이스에서, 최고 매수호의 한계 밀도는 x ∈ (κ, 1−κ)에서 πb(x) = (1 − κ)(1/x + log((1−x)/x))이다. 여기서 κ ≈ 0.218이다.
• 시장 주문 비율이 임계값 w ≈ 0.278를 초과할 경우, 한계 분포는 전체 구간 (0,1)을 커버하게 되며, 이는 최고 매수호나 최저 매도호가 없는 반복적인 기간이 존재함을 시사한다.
• 시장 메이커와 스니퍼 간의 딜로피에서 내쉬 균형은 시장 메이커의 수익률 0.073과 스니퍼의 수익률 0.020를 낳으며, 최적 가격은 P ≈ 0.340 및 q = √(P(1−P))이다.
• 여러 스니퍼가 속도가 아닌 가격에 따라 경쟁할 경우, 균형 상태에서 모든 1/2 이상의 매수호와 1/2 이하의 매도호가 스니핑되며, 총 수익률은 0.060에서 0.042로 감소한다.
• 평균 매도-매수 스프레드는 스니퍼 경쟁이 없을 경우 κ ≈ 0.218에서 스니퍼 경쟁 시 1/e ≈ 0.368로 증가하고, 단일 스니퍼가 존재할 경우 0.590로 증가함을 보이며, 이는 거래자 행동이 시장 깊이와 스프레드에 미치는 영향을 설명한다.