[논문 리뷰] A MODIFIED SEMI{IMPLICT EULER-MARUYAMA SCHEME FOR FINITE ELEMENT DISCRETIZATION OF SPDES

Gabriel J. Lord, Antoine Tambue|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 노이즈를 가진 2차 순환선형 포물형 SPDE를 해결하기 위해 수정된 반음성적 Euler-Maruyama 스킴과 유한요소 공간 이산화를 조합한 방법을 제안한다. 이 방법은 표준 반음성적 Euler-Maruyama 스킴에 비해 루트 평균 제곱 L² 및 H¹ 노름에서 수렴 속도를 향상시키며, 특히 공간적으로 거친 노이즈를 가진 확산 및 이동-확산-반응 방정식에서 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of a general second order semi{linear parabolic stochastic partial dierential equation (SPDE) driven by additive space-time noise. We introduce a new scheme using in time a linear functional of the noise with a semi{implicit Euler{ Maruyama method and in space we analyse a nite element method although extension to nite dierences or nite volumes would be possible. We consider noise that is white in time and either in H 1 or H 2 in space. We give the convergence proofs in the root mean square L 2 norm for a diusion reaction equation and in root mean square H1 norm in the presence of advection. We examine the regularity of the initial data, the regularity of the noise and errors from projecting the noise. We present numerical results for a linear reaction diusion equation in two dimensions as well as a nonlinear example of two-dimensional stochastic advection diusion reaction equation. We see from both the analysis and numerics that we have better convergence properties over the standard semi{implicit Euler{Maruyama method.

연구 동기 및 목표

• 추가 공간-시간 노이즈에 의해 구동되는 반선형 포물형 SPDE를 해결하기 위한 더 정확한 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 공간적으로 거친 노이즈가 존재하는 상황에서 기존 반음성적 Euler-Maruyama 방법의 수렴 성질을 향상시키기 위해.
• 노이즈의 정(regularity) (공간에서 H¹ 또는 H²)과 초기 자료의 정(regularity)이 수치적 수렴에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 수치적 스킴에서 노이즈 이산화에 의해 발생하는 투영 오차(projection errors)를 검토하기 위해.
• 이론적 결과를 2차원 선형 및 비선형 SPDE에 대한 수치 실험을 통해 검증하기 위해.

제안 방법

• 스킴은 반음성적 Euler-Maruyama 시간 이산화를 사용하며, 공간-시간 노이즈의 선형 기능을 도입하여 안정성과 정확도를 향상시킨다.
• 공간 이산화에는 유한요소법을 적용하지만, 유한차분법 또는 유한체적법으로의 확장도 이론적으로 가능하다.
• 반응-확산 방정식에 대해서는 루트 평균 제곱 L² 노름에서, 이동-확산-반응 방정식에 대해서는 루트 평균 제곱 H¹ 노름에서 수렴성을 분석한다.
• 노이즈는 시간에 대해 백색이며, 공간적으로는 H¹ 또는 H²에 속한다고 모델링하며, 노이즈 투영 오차에 주의 깊게 대처한다.
• 이론적 수렴 증명은 초기 자료의 정(regularity)과 노이즈의 정(regularity)을 고려하여 강력한 오차 경계를 보장한다.
• 이론적 결과를 검증하기 위해 2차원 선형 반응-확산 방정식과 2차원 비선형 스토케스틱 이동-확산-반응 방정식에 대한 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 공간-시간 노이즈를 가진 SPDE에 대해 제안된 수정된 반음성적 Euler-Maruyama 스킴이 표준 방법에 비해 수렴 속도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ2 공간 노이즈 정(regularity) (H¹ 또는 H²)이 수치적 스킴의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 초기 자료의 정(regularity)과 노이즈의 투영이 스킴의 총 오차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 특히 H¹ 노름에서 이동 항이 존재하는 상황에서도 제안된 방법이 뛰어난 수렴 성능을 유지할 수 있는가?
• RQ5 수치 결과가 선형 및 비선형 SPDE 테스트 케이스에서 이론적 수렴 속도를 어느 정도 확인하는가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 루트 평균 제곱 L² 및 H¹ 노름 모두에서 표준 반음성적 Euler-Maruyama 방법보다 더 뛰어난 수렴 속도를 달성한다.
• 2차원 선형 반응-확산 방정식의 경우, 동일한 노이즈 및 초기 자료 조건 하에서 스킴이 향상된 수렴 행동을 보였다.
• 이동-확산-반응 케이스에서는 H¹ 노름에서 스킴이 뛰어난 수렴 성능을 유지하여 이론적 예측을 확인했다.
• 분석 결과, 노이즈의 정(regularity)이 H¹ 또는 H² 공간에 속할 경우 수렴 속도에 상당한 영향을 미치며, 더 높은 정(regularity)일수록 오차 통제가 더 우수하다.
• 수치 결과는 노이즈 이산화에 기인한 투영 오차가 스킴 내에서 잘 관리되어 안정적이고 정확한 시뮬레이션을 가능하게 한다고 확인했다.
• 이 방법은 선형 및 비선형 SPDE 모두에서 뛰어난 성능을 보이며, 모든 테스트 케이스에서 표준 방법에 비해 일관된 개선을 보였다.