[논문 리뷰] A multidimensional Borg-Levinson theorem for magnetic Schr\\"odinger operators with partial spectral data

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 17.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 13인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 자기장 $dA$와 전기 포텐셜 $V$가 경계 스펙트럼 데이터 $\{\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}\}$의 점 渐진적 지식으로부터 게이지 등가성까지 유일하게 결정됨을 증명하는 다차원 보르그-레빈슨 정리를 수립한다. 여기서 $\lambda_k$는 고유값이고 $\varphi_k$는 고유함수이다. 증명은 복소 기하학적 옵티컬 해법과 딜리클레-노이만 맵의 점근적 분석을 활용하여 부분 스펙트럼 데이터로부터 자기장 및 전기 포텐셜을 복원한다.

ABSTRACT

We consider the multidimensional Borg-Levinson theorem of determining both the magnetic field $dA$ and the electric potential $V$, appearing in the Dirichlet realization of the magnetic Schr\\"odinger operator $H=(-{\ m i}\ abla+A)^2+V$ on a bounded domain $\\Omega\\subset\\mathbb R^n$, $n\\geq2$, from partial knowledge of the boundary spectral data of $H$. The full boundary spectral data are given by the set $\\{(\\lambda_{k},{\\partial_\ u \\phi_{k}}_{|\\partial\\Omega}):\\ k\\geq1\\}$, where $\\{ \\lambda_k:\\ k\\in \\mathbb N^* \\}$ is the non-decreasing sequence of eigenvalues of $H$, $\\{ \\phi_k:\\ k\\in \\mathbb N^* \\}$ an associated Hilbertian basis of eigenfunctions and $\ u$ is the unit outward normal vector to $\\partial\\Omega$. We prove that some asymptotic knowledge of $(\\lambda_{k},{\\partial_\ u \\phi_{k}}_{|\\partial\\Omega})$ with respect to $k\\geq1$ determines uniquely the magnetic field $dA$ and the electric potential $V$.

연구 동기 및 목표

• 자기 슈뢰딩거 연산자 $H = (-i\nabla + A)^2 + V$에서 부분 경계 스펙트럼 데이터를 이용해 자기장 $dA$와 전기 포텐셜 $V$를 역스펙트럼 문제로 유일하게 결정하는 것.
• 클래식한 보르그-레빈슨 정리를 차원 $n \geq 2$에서 부분 스펙트럼 정보를 포함하는 자기 슈뢰딩거 설정으로 확장하는 것.
• 고유값 $\lambda_k$와 법선 도함수 $\partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}$의 점근적 행동을 통해 $H$가 게이지 등가성까지 유일하게 결정됨을 확립하는 것.
• 주어진 자료로부터 게이지 변환에 대해 $dA$와 $V$가 유일하게 결정됨을 증명함으로써 게이지 모호성을 극복하는 것.

제안 방법

• 특정 점근적 행동을 갖는 자기 슈뢰딩거 방정식의 특수해를 구성하기 위해 복소 기하학적 옵티컬(CGO) 해법을 사용한다.
• 연산자 $H_j$와 관련된 딜리클레-노이만 맵 $\Lambda_{j,\lambda}$를 활용하여 경계 스펙트럼 데이터를 알려지지 않은 계수와 연결한다.
• 스펙트럼 데이터의 차이에 대해 $\mu \to -\infty$로의 점근적 분석을 적용하여 함수 $G(\lambda, \mu, \Phi_1, \Phi_2)$가 극한 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2)$로 수렴하도록 한다.
• 에너지 추정과 스펙트럼 비교를 통해 $\tau \to +\infty$일 때 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2) \to 0$임을 이용해 $dA_1 = dA_2$ 및 $V_1 = V_2$임을 유도한다.
• 다음과 같은 게이지 등가성을 확립한다: $A_2 - A_1 = \nabla p$이며, $p \in W^{2,\infty}(\mathbb{R}^n) \cap H_0^1(\Omega)$이므로 $e^{ip}$에 의해 $H_1$과 $H_2$는 유니타리 등가이다.
• 게이지 변환의 잘 정의성을 보장하기 위해 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$의 연결성을 이용하여 $p = 0$이 $\partial\Omega$에서 성립함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다차원 자기 슈뢰딩거 연산자에서 고유값 $\{\lambda_k, \partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}\}$의 점근적 지식으로부터 자기장 $dA$와 전기 포텐셜 $V$가 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ2 게이지 모호성은 자기 슈뢰딩거 연산자 $H = (-i\nabla + A)^2 + V$의 역스펙트럼 결정에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ3 고유값과 고유함수의 법선 도함수의 점근적 행동은 어떻게 하여 $dA$와 $V$를 재구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 영역 $\Omega$와 계수 $A$, $V$에 대해 어떤 조건이 부분 데이터를 가진 역스펙트럼 문제에서의 유일성 보장에 필요한가?

주요 결과

• 고유값 $\lambda_k$와 경계에서의 법선 도함수 $\partial_\nu \varphi_k|_{\partial\Omega}$의 점근적 지식을 통해 자기장 $dA$는 $k \to \infty$일 때 유일하게 결정된다.
• 전기 포텐셜 $V$는 동일한 점근적 스펙트럼 자료로부터 게이지 등가성까지 유일하게 결정된다.
• 딜리클레-노이만 맵의 차이 $S_1 - S_2$는 $\mu \to -\infty$일 때 0으로 수렴하며, 이는 $dA_1 = dA_2$임을 의미한다.
• 함수 $G(\lambda, \mu, \Phi_1, \Phi_2)$는 $\mu \to -\infty$일 때 $G_*(\lambda, \Phi_1, \Phi_2)$로 수렴하고, $\tau \to +\infty$일 때 $G_*$는 0으로 수렴한다. 이는 $V_1 = V_2$를 증명하는 데 핵심적이다.
• 게이지 등가성 $H_2 = e^{-ip} H_1 e^{ip}$는 $A_2 - A_1 = \nabla p$를 통해 확립되며, $p = 0$이 $\partial\Omega$에서 성립하므로 $\Omega$에서 잘 정의된 변환이 된다.
• 증명은 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$의 연결성을 기반으로 하며, 이는 $p$가 경계에서 0이 되게 하여 게이지 등가성 추론에 필수적이다.