[논문 리뷰] A multivariate multifractal model for return fluctuations

Emmanuel Bacry, J. Delour외 1명|arXiv (Cornell University)|2000. 09. 18.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 시간 척도에서 금융 자산 수익률 간 선형 및 비선형 상관관계를 포착하는 다변량 다중분산 무작위 보행(MMRW) 모델을 소개한다. 공통의 스토하스틱 볼라틸리티 과정을 사용하여 단변량 다중분산 볼라틸리티 모델을 다변량 프레임워크로 확장함으로써, MMRW는 몇 개의 파rameter만으로도 장기적 볼라틸리티 의존성, 뚜렷한 꼬리 분포, 시간 척도에 따라 변하는 상관관계와 같은 핵심 경험적 특성을 정확히 재현하며, CAC40 데이터에서 독립적인 파rameter 추정기 간 강한 일致성을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we briefly review the recently inrtroduced Multifractal Random Walk (MRW) that is able to reproduce most of recent empirical findings concerning financial time-series : no correlation between price variations, long-range volatility correlations and multifractal statistics. We then focus on its extension to a multivariate context in order to model portfolio behavior. Empirical estimations on real data suggest that this approach can be pertinent to account for the nature of both linear and non-linear correlation between stock returns at all time scales.

연구 동기 및 목표

• 모든 시간 척도에서 다수의 금융 자산의 공동 통계적 행동을 포착하는 다변량 다중분산 무작위 보행(MRW) 모델의 확장을 개발하기 위해.
• 표준 모델이 시간 간격에 걸쳐 일관되게 재현하지 못하는 선형 및 비선형 수익률 상관관계를 고려하기 위해.
• CAC40 지수의 경험적 데이터를 사용하여 모델을 검증하고, 독립적인 파rameter 추정 방법 간의 일致성을 입증하기 위해.
• 모든 자산에 공통의 볼라틸리티 과정을 가정하는 단순화된 MMRW가 복잡성을 줄이면서도 핵심 통계적 특성을 유지하는 좋은 근사치가 될 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 자산 간 공통의 스토하스틱 볼라틸리티 과정을 사용하여 단변량 다중분산 무작위 보행(MRW) 모델을 다변량 설정으로 확장함으로써 척도 불변성과 정적 증분을 보장한다.
• MMRW는 다중분산 행렬 $\mathbf{\Lambda}$, 적분 척도 $T_{ij}$, 그리고 마크owitz 노이즈 행렬 $\mathbf{\Sigma}$로 정의되며, 이들은 각각 다중분산 스케일링, 볼라틸리티 지속성, 자산 간 노이즈를 공동으로 제어한다.
• 공동 모멘트 스케일링 법칙 $\mathbb{E}[|X_i(l)|^q |X_j(l)|^q] \sim l^{-\mathbf{\Lambda}_{ij} q^2}$을 사용하여 공동 수익률의 다중분산 구조를 특성화한다.
• 두 개의 독립적인 $\mathbf{\Lambda}_{ij}$ 추정기: 증분의 크기 상관관계 기반 추정기(Eq. 13)와 교차 모멘트의 스케일링 기반 추정기(Eq. 15)를 사용하여 모델 검증이 가능해진다.
• 일일 CAC40 데이터(1993–2000)에 모델을 적용하여 절대 모멘트의 경험적 스케일링과 교차 모멘트 비율을 통해 파ram터를 추정한다.
• 다른 방법으로부터 유도된 파ram터 추정치를 비교하여 모델의 일치성을 검증하였으며, $\mathbf{\Lambda}_{12}$에 대해 높은 일致성을 보였고, 자산 쌍 간의 $\mathbf{\Lambda}_{ij}$, $T_{ij}$, $\mathbf{\Sigma}_{ij}$ 히스토GRAM이 일관되게 나타났다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 MMRW 모델의 다변량 확장판이 모든 시간 척도에서 자산 수익률 간 선형 및 비선형 상관관계를 포착할 수 있는가?
• RQ2 다른 통계적 추정기로부터 유도된 MMRW의 다중분산 파ram터가 경험적으로 일관된 추정치를 보이는가?
• RQ3 포트폴리오 내 모든 자산에 공통의 다중분산 볼라틸리티 과정을 가정하는 것이 타당한 근사치인가, 복잡성을 줄이면서도 정확도를 유지하는가?
• RQ4 실제 금융 데이터에서 다양한 자산 쌍 간의 추정된 적분 척도 $T_{ij}$와 다중분산 행렬 $\mathbf{\Lambda}_{ij}$는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 MMRW 모델이 큰 척도에서는 가우시안 분포에서 시작하여 미세 척도에서는 꼬리가 두꺼운 분포로 변화하는 수익률 확률밀도함수의 시간 척도 의존적 진화를 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 교차 모멘트 스케일링 추정기로 $\mathbf{\Lambda}_{12} \simeq 0.032$, 크기 상관관계 추정기로 $\mathbf{\Lambda}_{12} \simeq 0.036$로 추정되었으며, 독립적인 방법 간 강력한 일치성을 보였다.
• 모든 CAC40 자산 쌍에 대한 $\mathbf{\Lambda}_{ij}$ 히스토GRAM은 $\simeq 0.02$에서 피크를 이룬다. 이는 단변량 MRW 모델에서 관찰되는 일반적인 $\lambda_i^2$ 값과 일致한다.
• $T_{ij}$ (볼라틸리티 상관관계 척도) 히스토GRAM은 약 1~2년 범위에서 피크를 이룬다. 이는 단변량 분석에서 관찰된 일반적인 $T_i$ 값과 일치한다.
• $\mathbf{\Sigma}_{ij}$ (노이즈 상관관계 행렬) 히스토GRAM은 $\simeq 4.10^{-6}$에서 피크를 이룬다. 이는 단변량 추정치인 $\sigma^2$와 일치한다.
• 경험적 결과는 CAC40 내 모든 자산이 공통의 다중분산 볼라틸리티 과정을 공유한다는 근사가 타당하며, 모델의 복잡성을 크게 줄이면서도 통계 정확도를 유지할 수 있음을 지지한다.
• MMRW 모델은 수익률 가격 상관관계 부재, 장기적 볼라틸리티 상관관계, 시간 척도에 따라 변화하는 수익률 pdf의 진화(큰 척도에서는 가우시안에서 미세 척도에서는 꼬리가 두꺼운 분포로)를 성공적으로 재현하였다.