[논문 리뷰] A natural construction for the real numbers

Norbert A’Campo|ArXiv.org|2003. 01. 03.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 4인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한한 덧셈 성질의 편차를 가진 정수에서 정수로의 정수 값 함수—즉, 기울기로 불리는 것들—을 사용하여 실수를 자연스럽게 구성한다. 여기서 실수는 이러한 기울기들의 동치류로 정의된다. 덧셈, 곱셈, 순서는 기울기 위에서의 대수적 연산으로 유도되며, 이는 완전하고 아르키메데스 성질을 만족하며 전체 순서가 매겨진 체로, ℝ와 동형이 되며, √2와 비근대 수를 포함한 명시적인 예시를 제공한다.

ABSTRACT

A new construction of the real number system, that is built directly upon the additive group of integers and has its roots in the definition due to Henri Poincaré of the rotation number of an orientation preserving homeomorphism of the circle.

연구 동기 및 목표

• 정수의 덧셈군으로부터 직접 실수를 새로운, 직관적인 방법으로 구성하고자 한다.
• 정수 값 함수의 내재된 성질을 통해 실수 위의 산술 연산(덧셈, 곱셈)과 순서를 정의하고자 한다.
• 유도된 구조가 완전하고 아르키메데스 성질을 만족하며 전체 순서가 매겨진 체의 모든 공리들을 충족함을 보여주고자 한다.
• √2와 루트로 표현할 수 없는 대수적 수를 포함한 비정상적인 예시를 통해 구성 과정을 설명하고자 한다.
• 이 구성과 유한 코homology 간의 관계를 밝혀내며, R/Z 가 H²_b(ℤ, ℤ) 로서 나타남을 보여주어 분석과代수적 위상수학을 연결하고자 한다.

제안 방법

• 기울기를 ℤ → ℤ 인 함수 λ로 정의하며, {λ(m+n)−λ(m)−λ(n) | m,n∈ℤ} 가 유한한 집합이 되도록 한다.
• 기울기 간의 동치관계를 유한한 차이를 통해 정의한다: λ∼λ′ 이면 {λ(n)−λ′(n) | n∈ℤ} 가 유한하다.
• 실수를 이러한 관계에 대한 기울기의 동치류로 정의한다.
• 대표 기울기의 점별 덧셈을 통해 실수의 덧셈을 정의한다: (α+β)(n) = α(n)+β(n).
• 기울기의 합성으로 곱셈을 정의한다: (α∘β)(n) = α(β(n))로 하며, 유한성에 기반한 잘 정의됨을 증명한다.
• 자연수 ℕ₊에서의 기울기의 渐近 행동을 통해 양의 성질과 순서를 정의하여 ℝ 위에 전체 순서를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수의 덧셈군으로부터 자연스러운 대수적 구조를 사용해 실수를 직접 구성할 수 있는가?
• RQ2 덧셈, 곱셈, 순서를 실수에서 정의할 수 있는가? 이는 정수 값 함수의 성질만으로 가능할까?
• RQ3 이 구성은 √2와 같이 무리수이자 루트로 표현할 수 없는 대수적 수를 자연스럽게 표현할 수 있는가?
• RQ4 이 구성과 유한 코homology 간의 관계는 무엇인가? 특히 H²_b(ℤ, ℤ) 와의 관계는?
• RQ5 이 구성은 완전하고 아르키메데스 성질을 만족하며 전체 순서가 매겨진 체로 ℝ 와 동형이 되는가?

주요 결과

• 실수의 집합 ℝ 은 기울기의 집합을 유한한 차이의 동치관계로 나눈 몫집합으로 구성되며, 덧셈과 곱셈은 대표 기울기의 점별 합과 합성으로 정의된다.
• 이 구성은 완전하고 아르키메데스 성질을 만족하며 전체 순서가 매겨진 체로, 표준 ℝ 과 동형이며, 모든 체와 순서 공리들을 충족한다.
• √2 는 σ(n) = max{δ(n) | δ ∈ Δ} 로 정의되는 홀수 기울기 σ 로 표현되며, Δ 는 δ(n)² ≤ 2n² 를 만족하고 δ(n) ≈ √2 n 라는 조건을 만족하는 정수 값 함수의 집합이다.
• 이 구성은 ℝ/ℤ 가 유한 코homology 군 H²_b(ℤ, ℤ) 와 동형임을 보여주며, 이 동형은 a ↦ θ_a(n,m) = [(n+m)a] − [na] − [ma] 로 주어진다.
• 유리수는 어떤 q > 0 에 대해 n ↦ λ(qn) 가 선형인 기울기 λ 로 표현되며, 정수는 λ(n) = jn 인 선형 기울기로 표현된다.
• ℝ 위의 순서는 체의 구조에 내재되어 있다: x < y 이면 y−x = t² 를 만족하는 t ≠ 0 가 존재하며, 이는 순서가 체의 연산만으로 정의 가능함을 보여준다.