[논문 리뷰] A natural extension of Mittag-Leffler function associated with a triple infinite series

Ismail T. Huseynov, Arzu Ahmadovay외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 08.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 31인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 삼중 무한급수를 통해 정의된 새로운 삼변수 미타그레플레르 함수를 제안하며, 고전적 미타그레플레르 함수를 세 개의 변수로 확장한다. 적분 표현식, 분수계열 도함수 성질(카푸토 및 리만-리우빌 유형), 그리고 세 가지 다른 분수차수를 가진 다항분수미분방정식에 대한 정확한 해석적 해를 유도하는 데 응용하여, 복잡한 물리계열을 모델링하는 데의 유용성을 입증한다.

ABSTRACT

We establish a new natural extension of Mittag-Leffler function with three variables which is so called "trivariate Mittag-Leffler function". The trivariate Mittag-Leffler function can be expressed via complex integral representation by putting to use of the eminent Hankel's integral. We also investigate Laplace integral relation and convolution result for a univariate version of this function. Moreover, we present fractional derivative of trivariate Mittag-Leffler function in Caputo type and we also discuss Riemann- Liouville type fractional integral and derivative of this function. The link of trivariate Mittag-Leffler function with fractional differential equation systems involving different fractional orders is necessary on certain applications in physics. Thus, we provide an exact analytic solutions of homogeneous and inhomogeneous multi-term fractional differential equations by means of a newly defined trivariate Mittag-Leffler functions.

연구 동기 및 목표

• 분수미분학 응용을 위한 세 개의 독립 변수를 가진 미타그레플레르 함수의 새로운 다변수 확장 개발.
• 새로운 삼변수 함수에 대한 적분 표현식 및 분수미분학 성질(카푸토 및 리만-리우빌 유형) 수립.
• 세 가지 다른 분수차수를 포함한 동차 및 비동차 다항분수미분방정식에 대한 정확한 해석적 해 제공.
• 전기회로와 같은 물리계열에서의 응용 가능성을 명시적인 해 공식을 통해 입증.

제안 방법

• 삼중 무한급수를 통한 삼변수 미타그레플레르 함수 제안: $ E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha}(\lambda_1 z^\alpha, \lambda_2 z^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 z^{\alpha-\beta}) = \sum_{l,p,k=0}^\infty \binom{l+p+k}{l,p,k} \frac{\lambda_1^l \lambda_2^p \lambda_3^k z^{l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta)}}{\Gamma(l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta) + \alpha)} $.
• 해석적 표현을 위해 한켈 적분을 사용한 복소 적분 표현식 도출.
• 일변수 형태의 삼변수 함수에 대한 라플라스 적분 관계 및 콘볼루션 성질 연구.
• 삼변수 미타그레플레르 함수의 카푸토 유형 및 리만-리우빌 유형 분수도함수 및 적분 정의 및 분석.
• 세 가지 다른 분수차수(0.8, 0.6, 0.4)를 가진 다항분수미분방정식에 대한 초기값 문제에 함수 적용.
• 명시적 해 공식 유도: $ y(r) = \left(1 + \lambda_1 r^\alpha E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha+1}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) \right) y_0 + \int_0^r (r-s)^{\alpha-1} E_{\cdots}(\lambda_1 (r-s)^\alpha, \dots) g(s) ds $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 미타그레플레르 함수는 삼중 무한급수를 통해 어떻게 자연스럽게 세 개의 변수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 새로운 삼변수 미타그레플레르 함수의 적분 표현식 및 분수미분학 성질(카푸토 및 리만-리우빌 유형)은 무엇인가?
• RQ3 삼변수 미타그레플레르 함수는 세 가지 다른 분수차수를 가진 다항분수미분방정식에 대해 정확한 해석적 해를 제공할 수 있는가?
• RQ4 세 개의 독립적인 분수도함수를 포함한 비동차 다항분수미분방정식의 해는 어떤 구조를 가지는가?
• RQ5 삼변수 함수는 전기회로와 같은 물리모델에서 어떻게 나타나며, 그 점근적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 삼변수 미타그레플레르 함수는 삼중 급수로 정의된다: $ E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) = \sum_{l,p,k=0}^\infty \binom{l+p+k}{l,p,k} \frac{\lambda_1^l \lambda_2^p \lambda_3^k r^{l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta)}}{\Gamma(l\alpha + p(\alpha-\gamma) + k(\alpha-\beta) + \alpha)} $.
• 함수는 한켈 적분을 통한 복소 적분 표현식을 갖으며, 향후 분석적 연구에 유리하다.
• 삼변수 함수의 카푸토 유형 분수도함수를 도출하고, 분수미분방정식 해법에 적용.
• 비동차 다항분수미분방정식의 해는 $ y(r) = \left(1 + \lambda_1 r^\alpha E_{\alpha,\alpha-\gamma,\alpha-\beta,\alpha+1}(\lambda_1 r^\alpha, \lambda_2 r^{\alpha-\gamma}, \lambda_3 r^{\alpha-\beta}) \right) y_0 + \int_0^r (r-s)^{\alpha-1} E_{\cdots} \cdots g(s) ds $ 로 표현된다.
• 예시에서 $ \alpha=0.8, \beta=0.6, \gamma=0.4, \lambda_1=0.5, \lambda_2=3, \lambda_3=5, y_0=2 $ 일 때 해는 $ y(r) = 2 + r^{0.8} E_{0.8,0.4,0.2,1.8}(0.5r^{0.8}, 3r^{0.4}, 5r^{0.2}) $ 로 주어진다.
• 논문은 삼변수 미타그레플레르 함수가 세 가지 다른 분수차수를 가진 다항분수미분방정식에 대해 정확한 해석적 해를 제공함을 입증하며, 이는 이전의 일변수 및 이변수 결과를 확장한다.