[논문 리뷰] A New Application of Orthogonal Range Searching for Computing Giant Graph Diameters

Amir Abboud, Virginia Vassilevska Williams외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 05.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 37인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 밀도가 낮은 그래프에서 반지름과 지름을 진정으로 비제곱시간 내에 근사하고 고정된 매개변수 기반의 비제곱시간 알고리즘을 제안하며, 수직 범위 검색과 매개변수화된 복잡도 이론을 활용한다. Hitting Set 및 수직 벡터 추측을 기반으로 한 조건부 하한을 확립하여, 방향 그래프의 반지름에 대한 2-근사와 무방향 그래프의 지름에 대한 3/2-근사가 비제곱시간 내에서 최적임을 보여준다.

ABSTRACT

A well-known problem for which it is difficult to improve the textbook algorithm is computing the graph diameter. We present two versions of a simple algorithm (one being Monte Carlo and the other deterministic) that for every fixed h and unweighted undirected graph G with n vertices and m edges, either correctly concludes that diam(G) < hn or outputs diam(G), in time O(m+n^{1+o(1)}). The algorithm combines a simple randomized strategy for this problem (Damaschke, IWOCA'16) with a popular framework for computing graph distances that is based on range trees (Cabello and Knauer, Computational Geometry'09). We also prove that under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), we cannot compute the diameter of a given n-vertex graph in truly subquadratic time, even if the diameter is an Theta(n/log{n}).

연구 동기 및 목표

• 밀도가 낮은 그래프에서 반지름과 지름이 진정으로 비제곱시간 내에 계산될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 방향 및 무방향 그래프에서 다양한 지름과 반지름 변종에 대한 근사 및 고정된 매개변수 기반의 비제곱시간 알고리즘을 개발하는 것.
• Hitting Set 및 수직 벡터 추측을 기반으로 한 조건부 하한을 설정하여 더 나은 근사 또는 실행 시간을 배제하는 것.
• 기본적인 그래프 매개변수에 대해 알려진 알고리즘과 조건부 난이도 사이의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 수직 범위 검색을 사용하여 일방향 거리가 있는 방향 그래프 반지름에 대한 2-근사 알고리즘을 제안하며, Õ(m√n) 시간에 실행된다.
• 무방향 그래프 지름에 대한 3/2-근사 알고리즘을 Õ(m√n) 시간에 제안하며, 기존의 하한과 일치한다.
• 지름과 원심도 추정에 대한 하한을 확립하기 위해 수직 벡터 문제에서의 새로운 축소를 도입한다.
• 트리폭을 매개변수로 사용하여 반지름과 지름에 대해 2O(k log k)n1+o(1)-시간 알고리즘을 설계하며, 조건부 하한을 통해 거의 최적임을 보여준다.
• Hitting Set 문제를 반지름 계산으로 축소하여, (3/2−δ)-근사가 비제곱시간 내에 가능하면 Hitting Set 추측이 반증됨을 증명한다.
• OV에서의 축소를 적용하여, 모든 원심도에 대한 (5/3−δ)-근사와 라운드트립 지름에 대한 (3/2−δ)-근사는 비제곱시간 내에 불가능함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도가 낮은 그래프에서 반지름과 지름은 진정으로 비제곱시간 내에 계산될 수 있는가?
• RQ2 합리적인 추측을 기반으로 하여 비제곱시간 내에서 지름과 반지름의 최선의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 트리폭을 사용하는 매개변수 기반 알고리즘이 반지름과 지름에 대해 비제곱시간을 달성할 수 있는가?
• RQ4 비제곱시간 내에서 근사 알고리즘에 대해 엄밀한 조건부 하한이 존재하는가?
• RQ5 수직 벡터 및 Hitting Set 문제에서의 축소를 통해 근사 비율의 최적성은 입증될 수 있는가?

주요 결과

• 일방향 거리가 있는 방향 그래프 반지름에 대한 2-근사 알고리즘은 Õ(m√n) 시간에 실행되며, Hitting Set 추측 하에 (2−δ)-근사가 O(n2−ε) 시간에 가능하지는 않다.
• 무방향 그래프에서는 지름에 대한 3/2-근사가 Õ(m√n) 시간에 달성 가능하며, (3/2−δ)-근사가 비제곱시간 내에 가능하면 Hitting Set 추측이 반증됨을 의미한다.
• 비제곱시간 내에 무방향 밀도가 낮은 그래프에서 모든 원심도에 대한 (5/3−δ)-근사가 가능하면 Orthogonal Vectors 추측이 반증됨을 의미한다.
• 트리폭 k를 가진 그래프에서는 반지름과 지름을 2O(k log k)n1+o(1) 시간에 계산할 수 있으며, 심지어 (3/2−δ)-근사가 2o(k)n2−ε 시간에 가능하면 Hitting Set 추측이 반증됨을 의미한다.
• 비제곱시간 내에 라운드트립 지름에 대한 (3/2−ε)-근사가 가능하면 Orthogonal Vectors 추측이 반증됨을 의미한다.
• 논문은 엄밀한 하한을 확립한다: 표준 추측을 가정할 경우, 무방향 지름에 대해 3/2-근사 이하, 방향 반지름에 대해 2-근사 이하의 근사는 진정으로 비제곱시간 내에 달성될 수 없다.