[논문 리뷰] A new application of Random Matrices: Ext(C*_{red}(F_2)) is not a group

Uffe Haagerup, Thorbjornsen, Steen|ArXiv.org|2002. 12. 19.

Random Matrices and Applications참고 문헌 22인용 수 40

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 행렬에 대해 강력한 수렴 결과를 확립한다: 서로 독립적인 가우시안 랜덤 행렬의 다항식의 연산자 노름은 거의 확실히 자유 스케일링 시스템에 해당하는 다항식의 노름으로 수렴한다. 이 결과를 바탕으로 저자들은 두 생성자로 구성된 자유군의 축소 C*-대수에 대한 Ext-불변량이 군이 아니라는 것을 증명하여, 오랫동안 미해결이었던 오ператор 대수학 분야의 문제를 해결한다. 즉, 이는 단지 준군(semi-group)을 이룬다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In the process of developing the theory of free probability and free entropy, Voiculescu introduced in 1991 a random matrix model for a free semicircular system. Since then, random matrices have played a key role in von Neumann algebra theory (cf. [V8], [V9]). The main result of this paper is the following extension of Voiculescu's random matrix result: Let X_1^(n),...,X_r^(n) be a system of r stochastically independent n by n Gaussian self-adjoint random matrices as in Voiculescu's random matrix paper [V4], and let (x_1,...,x_r) be a semi-circular system in a C*-probability space. Then for every polynomial p in r noncommuting variables lim_{n->oo}||p(X_1^(n),...,X_r^(n))|| = ||p(x_1,...,x_r)||, for almost all omega in the underlying probability space. We use the result to show that the Ext-invariant for the reduced C*-algebra of the free group on 2 generators is not a group but only a semi-group. This problem has been open since Anderson in 1978 found the first example of a C*-algebra A for which Ext(A) is not a group.

연구 동기 및 목표

• 자유 스케일링 시스템에 대한 바이오쿨루스의 랜덤 행렬 근사법을 연산자 노름 설정으로 확장하여, 거의 확실히 연산자 노름의 수렴을 증명하는 것.
• 두 생성자로 이루어진 자유군의 축소 C*-대수에 대한 Ext-불변량이 군인지 아니면 단지 준군인지 여부라는 열린 문제를 해결하는 것.
• 강력한 랜덤 행렬 수렴을 활용하여 C*-대수 이론의 근본적인 문제, 특히 C*-대수의 확장 분류 문제를 해결하는 것.
• C*_{red}(F₂)에 대한 Ext 군이 역원에 대해 닫혀 있지 않음을 보여주어, 이것이 군이 아님을 증명하는 것.
• 자유 확률론에서의 랜덤 행렬 이론을 새로운 응용을 통해 바나흐 대수 이론과 C*-대수 이론의 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 분산 1/n을 가진 독립적인 n×n 가우시안 자기수반 랜덤 행렬 X_i^{(n)}을 사용하여 자유 스케일링 시스템의 행렬 모델을 구성한다.
• 연산자 노름의 거의 확실 수렴을 증명한다: 모든 비가환 변수 다항식 p에 대해 lim_{n→∞} ||p(X_1^{(n)}(ω), ..., X_r^{(n)}(ω))|| = ||p(x_1, ..., x_r)||가 거의 모든 ω에 대해 성립한다.
• 랜덤 행렬에 대한 강력한 대수법칙과 스펙트럼 노름 집중을 활용하여 거의 확실 수렴을 확립한다.
• 노름 수렴 결과를 자유군 F₂의 왼쪽 정규 표현에 적용하여, ||∑ c_j π_n(h_j)|| → ||∑ c_j λ(h_j)||를 만족하는 유니터리 표현 π_n를 구성한다.
• 노름 수렴 결과를 활용해 C*_{red}(F₂)의 Ext-불변량을 분석하여, 확장 집합이 역원에 대해 닫혀 있지 않음을 보인다.
• 기존의 자유 유니터리 합의 노름과 축소 C*-대수의 구조에 대한 결과를 활용하여, Ext(C*_{red}(F₂))가 군이 아니라는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 독립적인 가우시안 랜덤 행렬의 다항식에 대한 연산자 노름이 거의 확실히 해당 자유 스케일링 다항식의 노름으로 수렴하는가?
• RQ2 랜덤 행렬 노름의 강력한 수렴을 이용하여 C*-대수의 Ext-불변량의 대수적 구조를 분석할 수 있는가?
• RQ3 두 생성자로 이루어진 자유군의 축소 C*-대수에 대한 Ext-불변량은 군인지 아니면 단지 준군인지?
• RQ4 대칭 복소 가우시안 랜덤 행렬의 거듭제곱의 정확한 노름 행동은 큰 n의 극한에서 어떻게 되는가?
• RQ5 C*-대수에서 자유 유니터리의 합의 노름은 그 랜덤 행렬 근사치의 노름과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• r개의 독립적인 n×n 가우시안 자기수반 랜덤 행렬에서의 다항식의 연산자 노름은 거의 확실히 자유 스케일링 시스템에 해당하는 다항식의 노름으로 수렴한다: 거의 모든 ω에 대해 lim_{n→∞} ||p(X_1^{(n)}(ω), ..., X_r^{(n)}(ω))|| = ||p(x_1, ..., x_r)||.
• Ext(C*_{red}(F₂))는 군이 아니며, 오직 준군일 뿐이며, 앤더슨의 1978년 예시 이후 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 자유군 F_r의 왼쪽 정규 표현에서 ∑_{i=1}^r λ(g_i) ⊗ v_i의 노름은 힐베르트 공간 상의 임의의 유니터리 v_i에 대해 정확히 2√(r−1)이다.
• i.i.d. 성분을 가진 복소 가우시안 랜덤 행렬 Y_n(분산 1/n)에 대해, Y_n^p의 연산자 노름은 거의 확실히 n→∞일 때 ((p+1)^{p+1}/p^p)^{1/2}로 수렴한다.
• (Y_n^p)^* Y_n^p의 스펙트럼 노름은 거의 확실히 (p+1)^{p+1}/p^p로 수렴하며, 이 값 이상을 초과하는 고유값의 수는 최종적으로 n→∞일 때 0이 된다.
• 자유군 F_r의 유니터리 표현에 대한 노름 부등식 상수 C(r)는 모든 r ≥ 2에 대해 C(r) = 2√(r−1)임을 랜덤 행렬 근사와 라만두잔 그래프를 통해 확인한다.