[논문 리뷰] A new discontinuous Galerkin spectral element method for elastic waves with physically motivated numerical fluxes

Kenneth Duru, Leonhard Rannabauer외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 18.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 38인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비선형 마찰 법칙을 포함한 임의의 잘 정의된 경계 및 인터페이스 조건 하에서도 안정성과 고차 정확도를 보장하는 물리 기반 수치 유량을 갖춘 새로운 비연속 갈레르킨(DG) 스펙트럴 요소 방법을 제시한다. 이 방법은 물리적 조건에 의해 제약되는 리만 유사 문제를 통한 유량 구성과 에너지 안정성 있는 페널티 가중치를 사용한 입사 특성파에 대한 페널티를 통해 안정성과 고차 정확도를 확보하며, 동적 지진 어음 해방 시뮬레이션에 적합한 증명 가능하게 안정한 언드레스트림 스킴을 제공한다.

ABSTRACT

The discontinuous Galerkin (DG) method is an established method for computing approximate solutions of partial differential equations in many applications. Unlike continuous finite elements, in DG methods, numerical fluxes are used to enforce inter-element conditions, and internal and external physical boundary conditions. However, for certain problems such as elastic wave propagation in complex media, where several wave types and wave speeds are simultaneously present, a standard numerical flux may not be compatible with the physical boundary conditions. If surface or interface waves are present, this incompatibility may lead to numerical instabilities. We present a stable and arbitrary order accurate DG method for elastic waves with a physically motivated numerical flux. Our numerical flux is compatible with all well-posed, internal and external, boundary conditions, including linear and nonlinear frictional constitutive equations for modelling spontaneously propagating shear ruptures in elastic solids and dynamic earthquake rupture processes. We present numerical experiments in one and two space dimensions verifying high order accuracy and asymptotic numerical stability, and demonstrating potentials for modelling complex nonlinear frictional problems in elastic solids.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 물리적 경계 및 인터페이스 조건 하에서도 강건한 안정성과 고차 정확도를 갖춘 탄성파 방정정식을 위한 DG 방법을 개발하는 것.
• 다양한 종류의 파동과 속도를 포함하는 파동 전파를 모델링할 때 기존 DG 방법에서 발생하는 수치적 불안정성을 해결하는 것, 특히 표면 또는 인터페이스 파동이 존재할 경우에 초점한다.
• 비선형 마찰 구성 법칙(예: 슬립 감소 행동)에 의해 지배되는 동적 지진 어음 해방 과정을 정확하게 시뮬레이션할 수 있도록 하는 것.
• 물리적으로 유도된 수치 유량 구성으로 에너지 안정성과 점근적 수치 안정성을 확보하는 것.
• 복잡한 실제 지구물리학적 시나리오를 위해 다차원 공간과 적응형 메쉬 다각형을 적용하는 것.

제안 방법

• 방법은 요소 간의 경계에서 물리적 경계 또는 인터페이스 조건(선형 및 비선형 마찰 법칙 포함)에 의해 제약되는 리만 유사 문제를 해결함으로써 수치 유량을 구성한다.
• 탄성파 PDE 시스템의 고유구조에서 유도된 물리적으로 유용한 페널티 가중치를 사용하여 경계에서 입사 특성파를 페널티 처리한다.
• 유량 잭비안의 고유분해를 바탕으로 유동성 변동 벡터를 구성하여 기초 PDE의 파동 전파 성질과의 일致성을 확보한다.
• 페널티 매개변수는 언드레스트림을 강제하고 연속 에너지 항등식을 반영하는 이산 에너지 추정을 유도하도록 선택되어 안정성을 보장한다.
• 공간 연산자의 스펙트럼 반경은 경계 조건과 무관하게 유한하게 유지되며, 이는 효율적인 명시적 시간 적분을 가능하게 한다.
• 2차원 및 3차원으로의 확장은 곡선형, 비정렬 및 적응형 카르테시안 메쉬를 사용하여 수행되며, 메쉬 다각형은 슬립 속도 및 파동 진폭 임계값에 의해 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탄성파 방정정식에 대해 모든 잘 정의된 선형 및 비선형 경계 및 인터페이스 조건과 호환되는 수치 유량을 갖춘 비연속 갈레르킨 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 물리 기반 유량이 복잡한 파동 상호작용과 비선형 마찰 인터페이스 존재 하에서도 에너지 안정성과 점근적 수치 안정성을 보장하는가?
• RQ3 비균질 매질과 복잡한 기하학적 구조를 갖는 탄성파 문제에서 최적 수렴률과 고차 정확도(최대 차수 10)를 달성할 수 있는가?
• RQ4 슬립 감소 마찰 법칙에 의해 지배되는 동적 지진 어음 해방 시뮬레이션에서 이 방법의 성능은 어떠한가? 특히 어음 전파 및 파동 복사 특성을 잘 포착하는가?
• RQ5 지역적 어음 전면과 원거리 파동장을 동시에 해상도할 수 있도록 적응형 다수준 메쉬 다각형으로 효율적으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 수치 유량은 에너지 안정성을 보장하며, 연속 에너지 항등식을 정확히 반영하는 이산 에너지 추정을 제공하여 장기적인 수치 안정성을 증명한다.
• 공간 연산자의 스펙트럼 반경은 경계 또는 인터페이스 조건과 무관하게 유한하게 유지되며, 이는 효율적인 명시적 시간 적분을 가능하게 한다.
• 1차원 및 2차원 수치 실험은 다항식 차수 N=10까지 최적 수렴률을 확인하여 고차 정확도를 입증한다.
• 이 방법은 매개변수 fs=0.677, fd=0.525, dc=0.40 m를 갖는 슬립 감소 마찰 법칙에 의해 지배되는 단층에서 동적 지진 어음 해방을 성공적으로 시뮬레이션하며, 안정적인 어음 핵심 형성과 전파를 달성한다.
• 슬립 속도(>1 cm/s) 및 파동 진폭(>50 cm/s RMS) 기반의 적응형 메쉬 다각형은 2차원에서 어음 전면과 방출된 탄성파를 성공적으로 추적하며, 다중 수준의 메쉬 다각형을 적용한다.
• 이 방법은 ExaHyPE에 구현되어 있으며, SeismoLive에서 공개된 Jupyter 노트북 형태로 제공되어 교육 및 고성능 계산 응용에 기여한다.