[논문 리뷰] A new estimator for Weibull distribution parameters: Comprehensive comparative study for Weibull Distribution

Sahar Sadani, Kamel Abdollahnezhad외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 14.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이변량 Weibull 분포의 형태 및 척도 매개수에 대한 새로운 U-통계량 추정기법을 제안하며, 일致성과 점근적 정규성을 증명한다. 광범위한 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 표본 크기가 클 경우, U-통계량은 9개의 기존 추정기들보다 편향 측면에서 뛰어난 성능을 보이며, 특히 n ≥ 1000일 때 형태 및 척도 매개수를 추정할 경우 두 매개수 모두에서 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

Weibull distribution has received a wide range of applications in engineering and science. The utility and usefulness of an estimator is highly subject to the field of practitioner's study. In practice users looking for their desired estimator under different setting of parameters and sample sizes. In this paper we focus on two topics. Firstly, we propose $U$-statistics for the Weibull distribution parameters. The consistency and asymptotically normality of the introduced $U$-statistics are proved theoretically and by simulations. Several of methods have been proposed for estimating the parameters of Weibull distribution in the literature. These methods include: the generalized least square type 1, the generalized least square type 2, the $L$-moments, the Logarithmic moments, the maximum likelihood estimation, the method of moments, the percentile method, the weighted least square, and weighted maximum likelihood estimation. Secondary, due to lack of a comprehensive comparison between the Weibull distribution parameters estimators, a comprehensive comparison study is made between our proposed $U$-statistics and above nine estimators. Based on simulations, it turns out that the our proposed $U$-statistics show the best performance in terms of bias for estimating the shape and scale parameters when the sample size is large.

연구 동기 및 목표

• 이변량 Weibull 분포의 형태 및 척도 매개수에 대한 새로운 U-통계량 기반 추정기법을 개발하기 위해.
• 제안된 U-통계량의 이론적 성질(일치성 및 점근적 정규성 포함)을 확립하기 위해.
• 다양한 표본 크기와 매개수 설정에서 10개의 추정 방법을 포괄적으로 비교 연구하기 위해.
• 표본 크기와 원하는 성능 지표(편향, RMSE)에 따라 실무자들이 최적의 추정기법을 선택할 수 있도록 안내하기 위해.

제안 방법

• 순서 통계량과 i.i.d. Weibull 변수에서 min(X₁, X₂) ≡ 2^(-1/α)X₁라는 분포적 성질을 이용하여 Weibull 분포 매개수에 대한 U-통계량을 유도한다.
• 두 개의 i.i.d. Weibull 변수의 최소값이 단일 변수의 스케일된 형태와 분포적으로 동일하다는 핵심 보조정리를 활용한다.
• 대칭 커널 기반으로 U-통계량 이론을 적용하여 형태(α) 및 척도(β) 매개수의 추정기법을 구성한다.
• 정규 조건 하에서 제안된 U-통계량 추정기법의 점근적 정규성과 일치성을 증명한다.
• 다양한 매개수 설정(α = 0.5, 2.5; β = 0.5, 2.5)과 표본 크기(n = 100, 400, 1000, 4000)에서 몬테카를로 시뮬레이션을 수행한다.
• 편향과 제곱근 평균 제곱오차(RMSE)를 사용하여 10개의 추정기( GLS1, GLS2, LM, MLM, MLE, MM, PM, U-statistic, WLS, WMLE) 간 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표본 크기가 다양할 경우, 제안된 U-통계량 추정기법이 9개의 기존 추정기들보다 형태 및 척도 매개수 추정에서 편향과 RMSE 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ2 큰 표본 크기(n ≥ 1000)에서 형태 및 척도 매개수를 추정할 때 어떤 추정기법이 가장 낮은 편향을 보이는가?
• RQ3 작은 표본과 큰 표본에서 U-통계량의 RMSE 성능이 MLE, WLS, GLS 방법과 비교하여 어떻게 순위가 매겨지는가?
• RQ4 형태 및 척도 매개수의 다양한 조합에서 U-통계량은 여전히 뛰어난 성능을 유지하는가?
• RQ5 표본 크기와 매개수 설정에 따라 추정기의 성능 순위는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 큰 표본 크기(n ≥ 1000)에서, 모든 테스트된 매개수 조합에서 U-통계량 추정기법은 형태 및 척도 매개수 모두에서 가장 낮은 편향을 보였다.
• 작은 표본 크기(n = 100)에서는 가중 최소제곱(WLS) 추정기법이 편향 측면에서 가장 뛰어난 성능을 보였다.
• 백분위수 방법(PM)은 형태 매개수의 RMSE가 가장 높아, 모든 추정기 중에서 RMSE 측면에서 가장 열 劣한 성능을 보였다.
• 가중 최소제곱(WLS) 추정기법은 모든 표본 크기에서 형태 매개수의 RMSE를 가장 낮게 기록하였다.
• 일반화된 최소제곱 유형-I(GLS1) 추정기법은 비교된 모든 방법 중에서 큰 표본 크기에서 가장 열 劣한 편향 성능을 보였다.
• 실제 수명 데이터셋(72건의 관측치)을 활용한 응용 분석에서, U-통계량은 콜모고로프-스미르노프(KS) 검정 통계량 0.0934와 CVM 0.0591을 기록하여, MLE 및 WMLE보다 우수한 적합도 측정치를 확보하였다.