[논문 리뷰] A new exponent of simultaneous rational approximation

Anthony Poëls|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 29.

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한 줄 요약

이 논문은 동시에 디오판틴스 추정에서 새로운 지수 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$를 도입한다. 이는 가변 감쇠율 $|x_0|^{-\mu}$ 하에서 근사 제어에 작용하는 지수 $\tilde{\lambda}_\mu(\xi, \eta)$의 하한으로 정의되며, 수치 기하학의 프레임워크를 통해 1, $\xi$, $\eta$ 가 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에서 선형적으로 독립인 쌍 $\xi, \eta$ 에 대해 $(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ 의 스펙트럼을 완전히 기술한다. 이로써 $\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1$, $\lambda > 1/2$, 그리고 $\tilde{\lambda}_{\min}^2 / (1 - \tilde{\lambda}_{\min}) \leq \lambda$ 를 얻으며, 등호는 명시적 구성에 의해 달성된다.

ABSTRACT

We introduce a new exponent of simultaneous rational approximation $\widehat{\lambda}_{\min}(\xi,\eta)$ for pairs of real numbers $\xi,\eta$, in complement to the classical exponents $\lambda(\xi,\eta)$ of best approximation, and $\widehat{\lambda}(\xi,\eta)$ of uniform approximation. It generalizes Fischler's exponent $\beta_0(\xi)$ in the sense that $\widehat{\lambda}_{\min}(\xi,\xi^2) = 1/\beta_0(\xi)$ whenever $\lambda(\xi,\xi^2) = 1$. Using parametric geometry of numbers, we provide a complete description of the set of values taken by $(\lambda,\widehat{\lambda}_{\min})$ at pairs $(\xi,\eta)$ with $1$, $\xi$, $\eta$ linearly independent over $\mathbf{Q}$.

연구 동기 및 목표

• 기존의 동시에 디오판틴스 추정 지수 $\lambda(\xi, \eta)$ 와 $\tilde{\lambda}(\xi, \eta)$ 를 보완하는 새로운 지수 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ 를 정의하고 연구하는 것.
• 1, $\xi$, $\eta$ 가 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에서 선형 독립인 쌍 $(\xi, \eta)$ 에 대해 $(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ 가 취하는 값들의 집합을 완전히 기술하는 것.
• $\eta = \xi^2$ 인 특수한 경우에서 $\tilde{\lambda}_{\min}$ 이 히슐러의 지수 $\beta_0(\xi)$ 와 어떻게 관련되는지 밝혀내며, $\beta_0(\xi) < 2$ 이면 $\beta_0(\xi) = 1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2)$ 임을 보이는 것.
• $\lambda$, $\tilde{\lambda}$, $\tilde{\lambda}_{\min}$ 의 공동 스펙트럼을 탐색하고, 집합 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ 의 구조를 조사하는 것.

제안 방법

• $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ 를 $\mu \in (0, \lambda(\xi, \eta))$ 에 대해 $\tilde{\lambda}_\mu(\xi, \eta)$ 의 하한으로 정의한다. 여기서 $\tilde{\lambda}_\mu$ 는 $\max(|x_0\xi - x_1|, |x_0\eta - x_2|) \leq \min(X^{-\lambda}, |x_0|^{-\mu})$ 의 해를 제어한다.
• 3-함수 체계 $P = (P_1, P_2, P_3)$ 의 맥락에서 연속적인 최소값의 행동을 분석하기 위해 수치 기하학의 프레임워크를 사용한다.
• $\psi(P_3) = \lambda / (1 + \lambda)$ 이고 $\kappa(P_3) = \tilde{\lambda}_{\min} / (1 + \tilde{\lambda}_{\min})$ 를 만족하며, 필요한 점근적 조건을 충족하는 $[q_0, \infty)$ 에서의 명시적 3-체계 $P$ 를 구성한다.
• 성장과 비율을 제어하기 위해 수열 $q_k$ 와 보조점 $s_k, t_k, r_k$ 를 사용하여 두 주요 케이스인 $\tilde{\lambda}_{\min} > 1/2$ 와 $\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1/2$ 에 대해 스펙트럼을 확립한다.
• 다베크와 샤미트, 그리고 슈레이슈체의 기존 결과를 활용하여 $\beta_0(\xi) < 2$ 이면 $\lambda(\xi, \xi^2) = 1$ 임을 보이고, 이에 따라 $\beta_0$ 와 $\tilde{\lambda}_{\min}$ 간의 연결 고리를 확립한다.
• 연속 분수 이론과 연속 분수의 극한 값 집합 $S$ 를 사용하여 $\lambda = 1$ 인 경우 $1 / \tilde{\lambda}_{\min}$ 의 범위를 기술하며, 이는 $[\gamma, \infty)$ 와 같음을 보인다. 여기서 $\gamma = (1 + \sqrt{5})/2$ 는 황금비이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1, $\xi$, $\eta$ 가 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에서 선형 독립일 때, 쌍 $(\lambda(\xi, \eta), \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta))$ 가 가질 수 있는 가능한 값들의 전체 집합은 무엇인가?
• RQ2 $\eta = \xi^2$ 인 경우 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta)$ 는 히슐러의 지수 $\beta_0(\xi)$ 와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $\lambda$, $\tilde{\lambda}$, $\tilde{\lambda}_{\min}$ 의 공동 스펙트럼은 완전히 기술할 수 있는가? 그리고 집합 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ 의 구조는 어떠한가?
• RQ4 $b\lambda \in [0, 1]$ 인 경우, 집합 $\{ (\xi, \eta) \mid \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = b\lambda \}$ 의 하우스도르프 차원은 얼마인가?

주요 결과

• $1, \xi, \eta$ 가 유리수체 $\mathbb{Q}$ 위에서 선형 독립일 때 $(\lambda, \tilde{\lambda}_{\min})$ 의 스펙트럼은 $\tilde{\lambda}_{\min} \leq 1$, $\lambda > 1/2$, 그리고 $\tilde{\lambda}_{\min}^2 / (1 - \tilde{\lambda}_{\min}) \leq \lambda$ 로 특징지어진다.
• praticularly, 거의 모든 $(\xi, \eta)$ 에 대해 $\tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \eta) = 1/2$ 이며, 이는 고전적 딜레르트의 경계와 일치한다.
• $\lambda(\xi, \xi^2) = 1$ 이면, $\{1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2) \}$ 는 $[\gamma, \infty)$ 와 같으며, 여기서 $\gamma = (1 + \sqrt{5})/2$ 는 황금비이다.
• $\beta_0(\xi) < 2$ 인 $\xi$ 에 대해 $\beta_0(\xi) = 1 / \tilde{\lambda}_{\min}(\xi, \xi^2)$ 이 성립함을 보이며, 두 지수 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• $\lambda = 1$ 인 경우 $\tilde{\lambda}_{\min}$ 의 스펙트럼은 구간 $[\gamma, \infty)$ 이며, 이에 대응하는 $\beta_0(\xi)$ 의 집합은 내부가 없음을 보이며, 분포상의 극명한 대비를 보인다.
• $\tilde{\lambda} - \tilde{\lambda}_{\min}$ 의 스펙트럼은 $[0, 1)$ 이며, 전체 구간 $[0, 1]$ 이 달성된다고 추측되며, 이는 근사 스펙트럼 내 rich한 구조를 시사한다.