[논문 리뷰] A New Exponential Forgetting Algorithm for Recursive Least-Squares Parameter Estimation

Hyo‐Sang Shin, Hae-In Lee|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 08.

Control Systems and Identification참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 영구적 흥분 조건(Persistent Excitation, PE) 조건을 필요로 하지 않으면서 추정기의 windup을 방지하고 빠른 수렴성을 유지하는 새로운 지수 감쇠 알고리즘을 제안한다. 유한한 정보 행렬 기반의 가변 감쇠 메커니즘을 도입함으로써 공분산 행렬의 상한과 하한을 보장하여, PE 조건이 성립할 경우 지수 안정성을 확보하고, 그렇지 않을 경우에도 균일 안정성을 확보함으로써 방향성 감쇠의 강건성과 지수 감쇠의 빠른 수렴성을 결합한다.

ABSTRACT

This paper develops a new exponential forgetting algorithm that can prevent so-called the estimator windup problem, while retaining fast convergence speed. To investigate the properties of the proposed forgetting algorithm, boundedness of the covariance matrix is first analysed and compared with various exponential and directional forgetting algorithms. Then, stability of the estimation error with and without the persistent excitation condition is theoretically analysed in comparison with the existing benchmark algorithms. Numerical simulations on wing rock motion validate the analysis results.

연구 동기 및 목표

• 기존의 지수 감쇠(Exponential Forgetting, EF)를 적용한 순환 최소 제곱(Recursive Least-Squares, RLS) 알고리즘에서 영구적 흥분 조건이 만족되지 않을 경우 발생하는 추정기 windup 문제를 해결하기 위해.
• 방향성 감쇠(Directional Forgetting, DF) 알고리즘의 느린 수렴성을 극복하고, EF 방법의 빠른 적응 속도를 유지하기 위해.
• 영구적 흥분 조건이 없더라도 공분산 행렬의 상하한이 보장되는 새로운 EF 알고리즘을 개발하기 위해.
• 기존 RLS 문헌에서 일반적으로 가정되는 조건을 초월하여, 영구적 흥분 조건 및 비영구적 흥분 조건 하에서 추정 오차의 안정성에 대한 이론적 분석을 수행하기 위해.
• 익성 운동에 대한 수치 시뮬레이션을 통해 제안된 알고리즘을 검증하여, 시간 변화하는 파라미터를 추적하는 데서 뛰어난 성능과 노이즈에 대한 내성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 제안된 알고리즘은 정보 행렬의 고유구조에 기반하여 동적으로 조정되는 가변 감쇠 인자를 도입하여 공분산 행렬의 유한성을 보장한다.
• 적응 이득이 무한대로 발산하는 것을 방지하기 위해 수정된 이득 갱신 규칙을 적용한다.
• 영구적 흥분 조건 및 비영구적 흥분 조건 하에서 안정성 성질을 확립하기 위해 라플라스 함수 분석을 활용한다.
• 정보 행렬이 상하한에서 유한하게 유지되도록 알고리즘을 설계함으로써 안정성과 적응 능력을 동시에 확보한다.
• 행렬 분해와 유한성 조건을 활용한 이론적 분석을 통해 영구적 흥분 조건 하에서는 지수 안정성을, 비영구적 흥분 조건 하에서는 균일 안정성을 증명한다.
• 새로운 데이터가 이전 정보를 효과적으로 대체할 수 있을 때에만 오래된 정보를 선택적으로 할인하는 감쇠 메커니즘을 적용하여, 방향성 감쇠의 특성을 모방하면서도 지수 감쇠의 수렴 속도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영구적 흥분 조건에 의존하지 않고 추정기의 windup을 방지할 수 있는 새로운 지수 감쇠 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 비영구적 흥분 조건 하에서 제안된 알고리즘의 공분산 행렬의 유한성은 기존의 EF 및 DF 알고리즘과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ3 기존 EF 알고리즘의 불안정성 문제를 피하면서도 표준 EF와 유사한 빠른 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 영구적 흥분 조건이 만족되지 않을 경우 제안된 알고리즘의 추정 오차의 안정성 행동은 어떠한가?
• RQ5 제안된 알고리즘은 적응 이득을 유한하게 유지하면서도 시간 변화하는 파라미터에 대한 강력한 추적 능력을 확보할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 영구적 흥분 조건이 없더라도 공분산 행렬이 상하한에서 유한함을 보장하여 추정기의 windup을 방지한다.
• 노이즈와 흥분 부족 조건 하에서 시뮬레이션 결과, 기존의 EF 알고리즘과 달리 라플라스 함수와 추정 오차가 유한하게 유지된다.
• 영구적 흥분 조건 하에서는 지수 안정성을 확보하고, 비영구적 흥분 조건 하에서는 균일 안정성을 확보하여 DF 알고리즘보다 수렴 속도와 강건성 면에서 뛰어나다.
• 수치 시뮬레이션 결과, t=50초에 파라미터 변화 후 제안된 알고리즘이 DF 알고리즘보다 더 빠르게 수렴하고, t=60초 이후 노이즈 상황에서도 오차가 유한하게 유지됨을 확인하였다.
• 설계 파라미터 μ의 선택은 상충 관계를 제공한다: 높은 μ는 노이즈에 대한 내성을 향상시켜 windup을 감소시키지만, 낮은 μ는 파라미터 변화에 더 민감하게 반응한다.
• 30초 이후 흥분이 없는 케이스 2에서 제안된 알고리즘의 라플라스 함수는 약 10⁻¹¹ 수준에서 안정화되며, DF 알고리즘은 0.01 이상을 유지하여 장기적 안정성 면에서 뛰어난 성능을 입증한다.