[논문 리뷰] A New General-Purpose Method to Multiply 3x3 Matrices Using Only 23 Multiplications

Nicolas T. Courtois, Gregory V. Bard외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 14.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 16인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 3×3 행렬 곱셈을 위한 새로운 일반 목적의 방법을 제시하며, 단지 23개의 스칼라 곱셈만을 사용한다. 이는 기초가 되는 Brent 방정식을 SAT 문제로 변환하고, 500개의 SAT 솔버 조합을 사용해 해결함으로써 달성되었다. 저자들은 기존의 1976년 Laderman 방법과 이전에 알려진 모든 해들과 본질적으로 다를 뿐 아니라, 비가환적인 새로운 해를 발견하였다. 이는 알려진 해 공간을 크게 확장하고, 향후 22개 곱셈을 사용하는 해가 존재할 가능성을 높였다.

ABSTRACT

One of the most famous conjectures in computer algebra is that matrix multiplication might be feasible in not much more than quadratic time. The best known exponent is 2.376, due to Coppersmith and Winograd. Many attempts to solve this problems in the literature work by solving, fixed-size problems and then apply the solution recursively. This leads to pure combinatorial optimisation problems with fixed size. These problems are unlikely to be solvable in polynomial time. In 1976 Laderman published a method to multiply two 3x3 matrices using only 23 multiplications. This result is non-commutative, and therefore can be applied recursively to smaller sub-matrices. In 35 years nobody was able to do better and it remains an open problem if this can be done with 22 multiplications. We proceed by solving the so called Brent equations [7]. We have implemented a method to converting this very hard problem to a SAT problem, and we have attempted to solve it, with our portfolio of some 500 SAT solvers. With this new method we were able to produce new solutions to the Laderman's problem. We present a new fully general non-commutative solution with 23 multiplications and show that this solution is new and is NOT an equivalent variant of the Laderman's original solution. This result demonstrates that the space of solutions to Laderman's problem is larger than expected, and therefore it becomes now more plausible that a solution with 22 multiplications exists. If it exists, we might be able to find it soon just by running our algorithms longer, or due to further improvements in the SAT solver algorithms.

연구 동기 및 목표

• 1976년 Laderman 방법으로부터 오랫동안 유지되어 온 기존 방법을 초월해, 단지 23개의 스칼라 곱셈만을 사용하는 3×3 행렬 곱셈에 대한 새로운 비가환적 해를 찾는 것.
• 23개 곱셈 문제의 알려진 해 공간을 확장하여, 22개 곱셈을 사용하는 해가 존재할 수 있는지 탐색하는 것.
• 행렬 곱셈 알고리즘을 지배하는 고도로 복잡한 Brent 방정식의 체계를 해결하기 위해 새로운 SAT 기반 접근법을 개발하고 적용하는 것.
• 이전에 알려진 해들, 특히 Laderman 및 Johnson-McLoughlin 가족의 해들과의 구조적 및 대수적 등가성 여부를 판단하는 것.
• 3×3 행렬 곱셈에서 23개 곱셈을 사용할 경우의 해 공간이 이전에 생각했던 것보다 훨씬 크다는 것을 입증함으로써, 22개 곱셈 해를 발견할 가능성은 높아진다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 3×3 행렬 곱셈을 위한 729개의 삼차 방정식(즉, Brent 방정식) 체계를 부울 만족 가능성(SAT) 문제로 변환한다.
• 먼저 모듈로 2에서 SAT 문제를 해결한 후, 이를 모듈로 4로 확장함으로써 일반적인 환에 대한 해를 얻는 경우가 많다.
• 약 500개의 SAT 솔버와 그 변종을 조합한 포트폴리오를 사용하여 해를 탐색하며, 인코딩 과정에 대한 광범위한 튜닝과 최적화를 수행한다.
• 해의 등가성 탐색을 위해 체계적인 변환 기법(예: 인덱스 순열, A, B, C 행렬의 순환 이동, 전치, 재스케일링, 가역 행렬로 둘러싸기 등)을 적용한다.
• 해의 검증 및 비교에는 A, B, C 계수 행렬 내 랭크-3 행렬의 수와 분포를 기반으로 한 불변량을 사용한다.
• 이 접근법은 계산 대수학과 자동 추론을 융합하여, 잠재적인 행렬 곱셈 알고리즘의 막대한 조합 공간을 탐색한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확히 23개의 곱셈만을 사용하는 3×3 행렬 곱셈에 대해, Laderman의 원래 해와는 구조적으로 다를 뿐 아니라 등가가 아닌 새로운 비가환적 해를 발견할 수 있는가?
• RQ2 3×3 행렬 곱셈에서 23개 곱셈을 사용할 경우의 해 공간은 이전에 생각했던 것보다 훨씬 크며, 특히 서로 등가가 아닌 알고리즘적 구조 측면에서 크게 확장된 것인가?
• RQ3 SAT 기반의 변환 및 해법 파이프라인은 고정 크기의 행렬 곱셈 문제에 대해 Brent 방정식의 타당한 일반 해를 신뢰성 있게 생성할 수 있는가?
• RQ4 Laderman의 해에서 6개의 랭크-3 행렬을 포함하는 데 비해, 새로운 해가 랭크-3 행렬을 딱 두 개만 포함한다는 점은, 22개 곱셈 해를 찾는 데 도움이 되는 본질적으로 다른 대수적 구조를 시사하는가?
• RQ5 현대의 SAT 솔버와 알고리즘 인코딩은, 예를 들어 행렬 곱셈의 텐서 랭크 최소화와 같은 복잡한 조합 문제를 해결하는 데 얼마나 효과적으로 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 단지 23개의 스칼라 곱셈만을 사용하는 새로운 비가환적 3×3 행렬 곱셈 알고리즘을 성공적으로 발견하였으며, 이는 Laderman의 원래 방법과 등가가 아님을 입증하였다.
• 새로운 해는 A-계수 행렬 내 정확히 두 개의 랭크-3 행렬을 포함하지만, Laderman의 해는 여섯 개를 포함하므로, 이는 구조적 등가성이 아님을 증명한다.
• Johnson과 McLoughlin이 이전에 발견한 무한히 많은 상호 등가가 아닌 해들 중 어떤 것과도 등가가 아니며, 그들의 해들은 최대 하나의 랭크-3 행렬을 포함하기 때문이다.
• SAT 기반 접근법은 단일 CPU를 사용해 며칠 내에 타당한 해를 성공적으로 생성하여, 이 복잡한 대수 문제를 해결하기 위한 이 계산 방법의 실현 가능성을 입증하였다.
• 이 발견은 23개 곱셈을 사용하는 3×3 행렬 곱셈의 해 공간이 이전에 생각했던 것보다 훨씬 크다는 것을 확인함으로써, 22개 곱셈 해가 존재할 가능성이 높아졌음을 시사한다.
• 결과적으로, 더 긴 실행 시간 또는 향상된 SAT 솔버를 사용한 추가 탐색을 통해 곧 22개 곱셈 알고리즘이 도출될 수 있으며, 이는 빠른 행렬 곱셈 분야에서 오랫동안 제기되어 온 추측을 진전시킬 것이다.