[논문 리뷰] A new light on the breaking of uniaxial symmetry in nematics

Xavier Lamy|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 01.

Liquid Crystal Research Advancements참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 프레임 불변의 부동 에너지 밀도를 가진 랑도-데 게인즈 이론을 사용하여, 한 방향으로만 대칭성을 유지하는 난류 액정에서, 유도체장이 균일하지 않은 한, 1차원 또는 2차원에서는 평형 상태에서 이방성 대칭이 유지될 수 없음을 증명한다. 이는 에너지 최소화가 아니라 평형 조건 자체에 기인하며, 모든 매개변수 값과 준안정 상태에서도 성립한다. 이는 수평으로 이동 불변인 시스템—예를 들어 하이브리드 세포나 반경 방향 고정력이 있는 관형기에서—에서 전역적으로 이방성이 발생함을 의미한다.

ABSTRACT

Within the Landau-de Gennes theory of liquid crystals, we study theoretically the equilibrium configurations with uniaxial symmetry. For an arbitrary form of the bulk energy density, we show that energy minimizers among uniaxially symmetric configurations are usually not equilibrium configurations. It was known before that uniaxiality can sometimes be broken by energy minimizers. We prove here that this is always the case in one or two dimensions. Even more we prove that equilibrium configurations (not only minimizers) cannot be uniaxial in one or two dimensions (unless they are constant). Namely, uniaxial equilibrium configurations with at least one translational invariance direction must have a uniform director field. In the case of a hybrid nematic cell, or of a capillary with radial anchoring, our result implies that biaxial escape always occurs, and that it does so not only in the core of a defect: uniaxial order is destroyed in the whole cell.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 조건 하에서 난류 액정의 평형 구성에서 이방성 대칭이 유지될 수 있는지 조사하기.
• 난류 시스템에서 이방성 질서에 대해 대칭적 임계성 원리가 적용되는지 확인하기.
• 특히 저차원 시스템에서 이동 불변성이 이방성 대칭을 어떻게 깨는지 분석하기.
• 이방성 탈출이 결함 핵부에 국한되지 않고, 이동 불변 기하구조에서 전역적으로 발생함을 확립하기.
• 이방성이 자유 에너지 최소화나 특정 매개변수 영역에 의존하지 않고도 평형 방정식 자체에서 유도됨을 보여주기.

제안 방법

• 일반적이고 프레임 불변의 부동 에너지 밀도 $\varphi(\mathrm{tr}(Q^2), \mathrm{tr}(Q^3))$를 사용하여 랑도-데 게인즈 자유 에너지를 수립한다.
• 자유 에너지의 첫 번째 변분을 통해 평형 방정식을 유도하며, 텐서형 편미분방정식을 얻는다: $L\Delta Q = 2\partial_1\varphi\, Q + 3\partial_2\varphi\left(Q^2 - \frac{|Q|^2}{3}I\right)$.
• 유도체장에 대해 $Q = s(n \otimes n - \frac{1}{3}I)$로 가정하여 이방성 구성으로 분석하고, $s$와 $n$에 대한 평형 조건을 유도한다.
• 한 또는 두 개의 공간 방향에서 이동 불변성을 적용하여 문제를 단순화하고 $\nabla n$에 대한 기하학적 제약 조건을 유도한다.
• 미분기하학(가우스의 정재기하학 정리)을 사용하여, $|\nabla n|^2$ 가 일정하면서도 비균일한 $n$이 구면 위에 존재할 수 없음을 보이며, 이는 $n$이 균일하지 않은 한 모순이 발생함을 의미한다.
• Q-텐서의 해석적 성질을 활용하여, 이방성 영역은 전체 영역이거나 무시할 수 있을 정도로 작을 수밖에 없으며, $n$이 균일하지 않은 한 진정한 열린 부분집합일 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도체장이 균일하지 않은 한, 1차원 또는 2차원에서 이방성 평형 구성이 존재할 수 있는가?
• RQ2 난류 액정에서 이방성 대칭에 대해 대칭적 임계성 원리가 성립하는가?
• RQ3 이방성은 결함 핵부에 국한되어 있는가, 아니면 이동 불변 시스템에서 전역적으로 발생하는가?
• RQ4 이방성의 발생 여부는 온도나 시스템 크기와 같은 특정 매개변수 값에 의존하는가?
• RQ5 이방성은 자유 에너지 최소화나 특정 부동 에너지 형태에 의존하지 않고도 평형 방정식 자체에서 도출될 수 있는가?

주요 결과

• 1차원 또는 2차원에서는 비균일한 이방성 평형 구성이 존재할 수 없으며, 이는 유도체장의 기하학적 제약 조건 때문이다.
• 이동 불변성과 함께 존재하는 이방성 평형 구성은 반드시 유도체장이 균일해야 하며, 그렇지 않으면 정재기하학 정리가 위반된다.
• 이방성은 결함 핵부에 국한되지 않으며, 하이브리드 세포나 반경 방향 고정력이 있는 관형기와 같은 기하구조에서 전체 시스템에 걸쳐 발생한다.
• 이 결과는 표준 4항 전개를 초월하는 임의의 형태의 프레임 불변 부동 에너지 밀도에 대해 성립한다.
• 결론은 자유 에너지 최소화자뿐만 아니라 모든 평형 구성, 준안정 상태까지도 포함한다.
• 비균일 구성에서 이방성 대칭의 부재는 자유 에너지 비교가 아니라 평형 방정식 자체의 직접적인 결과이다.