[논문 리뷰] A new look at short-term implied volatility in asset price models with jumps

Aleksandar Mijatović, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 점프가 있는 단기 옵션 가격 모델에서 행사가의 새로운 재정규화를 제안하며, 이는 투자자들이 관찰하는 유한한 시장 행동과 이론적 폭주를 해결하는 데 기여한다. 특히, 임의의 변동성과 점프 활동의 블룸탈-게토어 지수에 따라 변동하는 비상수 한계를 가지며, 이는 무한 변동성 레비 모델이 단기 만기 시장 데이터에 더 잘 맞는 이유를 설명한다.

ABSTRACT

We analyse the behaviour of the implied volatility smile for options close to expiry in the exponential Lévy class of asset price models with jumps. We introduce a new renormalisation of the strike variable with the property that the implied volatility converges to a non-constant limiting shape, which is a function of both the diffusion component of the process and the jump activity (Blumenthal-Getoor) index of the jump component. Our limiting implied volatility formula relates the jump activity of the underlying asset price process to the short end of the implied volatility surface and sheds new light on the difference between finite and infinite variation jumps from the viewpoint of option prices: in the latter, the wings of the limiting smile are determined by the jump activity indices of the positive and negative jumps, whereas in the former, the wings have a constant model-independent slope. This result gives a theoretical justification for the preference of the infinite variation Lévy models over the finite variation ones in the calibration based on short-maturity option prices.

연구 동기 및 목표

• 고정 행사가 단기 만기 모델에서 이론적으로 발생하는 음성 변동성의 폭주 현상과 실제로 관찰되는 유한한 시장 행동 간의 괴리를 해결하기 위해.
• 만기가 0에 수렴할 때 음성 변동성이 비퇴적 한계를 가지는 움직이는 행사가 파arameterization을 규명하기 위해.
• 점프 활동(블룸탈-게토어 지수를 통해)과 단기 음성 변동성 스마일의 형태 간의 관계를 규명하기 위해.
• 무한 변동성 레비 모델이 단기 만기 옵션 가격을 캘리브레이션하는 데서 선호되는 이유를 이론적으로 정당화하기 위해.

제안 방법

• 새로운 행사가 파arameterization을 제안: $ k_t = \theta \sqrt{t \log(1/t)} $, 이는 단기 만기일 때 근근이 되지만 여전히 아웃 오브 더 머니 상태를 유지한다.
• 점프가 있는 지수 레비 모델 하에서, 만기가 0으로 수렴할 때 음성 변동성 $ \widehat{\sigma}(t, k_t) $ 의 渐近적 행동을 분석한다.
• 한계 음성 변동성 함수 $ \sigma_0(\theta) = \max\left\{ \frac{-\theta}{\sqrt{1 - (\alpha_- - 1)^+}}, \sigma, \frac{\theta}{\sqrt{1 - (\alpha_+ - 1)^+}} \right\} $ 를 유도한다. 여기서 $ \alpha_+ $, $ \alpha_- $ 는 양의 점프와 음의 점프에 대한 블룸탈-게토어 지수이다.
• 주식 측도 변환과 渐近적 전개를 사용하여 한계를 도출하며, 지배 수렴 정리와 레비-힌친 기반 표현을 활용한다.
• 콜-풋 대칭성과 타일러 전개 기법을 적용하여 옵션 가격 전개의 고차항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행사가가 고정되어 있지 않은 경우 단기 만기 옵션의 음성 변동성 표면을 어떻게 일관적으로 파arameterization할 수 있는가?
• RQ2 만기가 0으로 수렴할 때, 근근이 되는 움직이는 행사가 하에서 음성 변동성 스마일의 한계 형태는 어떠한가?
• RQ3 점프 활동의 블룸탈-게토어 지수는 특히 스마일의 날개 부분에서 단기 음성 변동성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 왜 무한 변동성 레비 모델이 유한 변동성 모델보다 단기 만기 옵션 가격을 더 잘 맞추는가?

주요 결과

• 한계 음성 변동성 $ \sigma_0(\theta) $ 는 비상수이며, 확산 변동성 $ \sigma $ 과 점프 활동 지수 $ \alpha_+ $, $ \alpha_- $ 에 모두 의존한다.
• 무한 변동성 점프의 경우($ \alpha_+ \geq 1 $ 또는 $ \alpha_- \geq 1 $), 스마일의 날개는 점프 활동 지수에 의해 결정되며, 확산이 존재하는지 여부에 따라 U자형 또는 V자형 스마일을 이룬다.
• 유한 변동성 점프의 경우($ \alpha_+ < 1 $, $ \alpha_- < 1 $), 한계 스마일의 날개 부분은 기울기가 1인 상수 기울기를 가지며, 점프 구조와 무관하다.
• 한계 공식은 큰 $ |\theta| $ 에서 음성 변동성 스마일의 기울기가 $ \frac{1}{\sqrt{1 - (\alpha_\pm - 1)^+}} $ 임을 보여주며, 이는 $ \alpha_\pm \to 1 $ 일 때 발산하여 유한 변동성 경계 근처에서 점프 활동에 민감함을 시사한다.
• 모델은 제안된 움직이는 행사가 파arameterization 하에서 실제로 관측되는 단기 만기의 유한한 음성 변동성이 자연스럽게 유도됨을 확인하며, 이는 이전 모델에서의 핵심 모순을 해결한다.