[논문 리뷰] A Non-Gaussian Option Pricing Model with Skew

L. Borland, J. P. Bouchaud|arXiv (Cornell University)|2004. 02. 29.

Stochastic processes and financial applications인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 단일 난수 원천을 갖는 확률적 변동성 프레임워크를 확장하여 비정규 분포의 옵션 가격 모델을 제안한다. 이 모델은 비대칭성과 뚜렷한 꼬리 분포를 반영하여, 일반화된 포크너-플랭크 방정식과 척도 해법을 통해 유럽형 콜옵션 가격에 대한 폐쇄형 근사해를 도출한다. 이는 다양한 만기의 시장 데이터와 잘 맞추며, 특정 조건에서 블랙-숄즈 및 CEV 극한을 복원한다.

ABSTRACT

Closed form option pricing formulae explaining skew and smile are obtained within a parsimonious non-Gaussian framework. We extend the non-Gaussian option pricing model of L. Borland (Quantitative Finance, {\bf 2}, 415-431, 2002) to include volatility-stock correlations consistent with the leverage effect. A generalized Black-Scholes partial differential equation for this model is obtained, together with closed-form approximate solutions for the fair price of a European call option. In certain limits, the standard Black-Scholes model is recovered, as is the Constant Elasticity of Variance (CEV) model of Cox and Ross. Alternative methods of solution to that model are thereby also discussed. The model parameters are partially fit from empirical observations of the distribution of the underlying. The option pricing model then predicts European call prices which fit well to empirical market data over several maturities.

연구 동기 및 목표

• 시장의 비대칭성과 무거운 꼬리 분포를 반영하는 간결한 비정규 옵션 가격 모델을 개발한다.
• 추가적인 난수 원천을 도입하지 않고도 레버리지 효과를 변동성-주가 상관계수를 통해 통합한다.
• 다양한 만기 동안 실증 시장 데이터와 잘 맞는 폐쇄형 근사 해를 도출한다.
• 극한 조건에서 표준 블랙-숄즈 및 CEV 모델으로 수렴하도록 보장한다.
• 순수 보정 기반 국소 변동성 접근법의 문제점을 피하는 동적으로 일관된 모델을 제공한다.

제안 방법

• 보란드(2002)의 비정규 모델을 확장하여 레버리지 효과와 일치하는 변동성-주가 상관계수를 도입한다.
• 거품 꼬리 분포를 갖는 비정규 레비 과정 하에서 주가 동역학에 대한 일반화된 포크너-플랭크 방정식을 유도한다.
• 가짜 차원에서 비선형 반경 확산 방정식으로 변환하기 위해 척도 가설을 적용한다.
• 비선형 확산 방정식을 효과적 차원 $d'$에서 표준 반경 확산 방정식으로 변환하기 위해 변수를 변경한다.
• 등방향 초깃값 조건에 대해 베셀 함수와 중첩 원리로 해를 구한다.
• 변환된 확산 방정식의 해를 통해 유럽형 콜옵션 가격에 대한 근사 폐쇄형 해를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 난수 원천 구조를 유지하면서도, 미리 스마일 표면에 보정하지 않고도 관측된 옵션 시장 가격을 재현할 수 있는가?
• RQ2 단일 난수 원천 프레임워크 내에서 레버리지 효과를 어떻게 일관적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 기초 자산 수익률 분포가 로그정규분포에서 비틀림과 뚜렷한 꼬리를 가지며 벗어날 경우, 옵션 가격 공식의 해석적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 극한 조건에서 모델의 해가 표준 블랙-숄즈 및 CEV 모델과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 임의의 만기에서 이면 변동성 표면에 맞추지 않고도 정확한 옵션 가격을 산출할 수 있는가?

주요 결과

• 모델은 다양한 만기 동안 실증 시장 데이터와 높은 정확도로 일치하는 폐쇄형 근사 해를 제공한다.
• 정규 분포 수익률($q=1$, $ u=1$)의 극한에서 표준 블랙-숄즈 모델으로 수렴하고, 일정한 변동성 탄성의 극한에서는 CEV 모델로 수렴한다.
• 일반화된 포크너-플랭크 방정식은 변수 변경과 척도 가설을 통해 효과적 차원 $d'$에서 반경 확산 방정식으로 변환된다.
• 초기 조건은 $d'$ 차원의 초구면 위의 $ ho$-함수로 표현되며, 베셀 함수와 각도 적분을 통해 해를 구할 수 있다.
• 모델는 $q=3$의 거품 꼬리 지수를 통해 비정규성과 뚜렷한 꼬리 분포를 반영하여 실증 관측 결과와 일치한다.
• 실제 확률적 과정에 기반함으로써 보정 기반 국소 변동성 모델의 동적 비일관성 문제를 피한다.