[논문 리뷰] A Note on Central Limit Theorems for Linear Spectral Statistics of Large Dimensional F-matrix

Shurong Zheng, Zhidong Bai|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 02.

Random Matrices and Applications참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중심극한정리(CLT)를 중심으로, 중심화된 표본공분산행렬을 사용할 때 큰 차원의 F-행렬에 대한 선형 스펙트럼 통계(LSS)에 대해 다루며, Bai와 Silverstein(2004)의 CLT 결과가 단순화된 표본공분산행렬 대신 중심화된 버전을 사용할 경우에도 유지됨을 보여주며, 차원 대 표본크기 비율을 $ p/(n-1) $ 및 $ p/(n_i-1) $로 조정하면 성립함을 밝힌다. 주요 기여는 Pan(2012)의 결과를 더 간단하고 동치로 재구성하여 더 명확한 표현과 증명을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Sample covariance matrix and multivariate $F$-matrix play important roles in multivariate statistical analysis. The central limit theorems {\sl (CLT)} of linear spectral statistics associated with these matrices were established in Bai and Silverstein (2004) and Zheng (2012) which received considerable attentions and have been applied to solve many large dimensional statistical problems. However, the sample covariance matrices used in these papers are not centralized and there exist some questions about CLT's defined by the centralized sample covariance matrices. In this note, we shall provide some short complements on the CLT's in Bai and Silverstein (2004) and Zheng (2012), and show that the results in these two papers remain valid for the centralized sample covariance matrices, provided that the ratios of dimension $p$ to sample sizes $(n,n_1,n_2)$ are redefined as $p/(n-1)$ and $p/(n_i-1)$, $i=1,2$, respectively.

연구 동기 및 목표

• 고차원 설정에서 중심화된 표본공분산행렬과 단순화된 표본공분산행렬을 사용할 때 선형 스펙트럼 통계(LSS)에 대한 중심극한정리(CLT)의 모순을 해결하기 위해.
• Bai와 Silverstein(2004)의 단순화된 표본공분산행렬에 대한 LSS에 대한 CLT 결과가 중심화된 행렬로 대체될 경우에도 올바르며, 수정된 渐近적 스케일링이 적용될 수 있음을 보여주기 위해.
• 다변량 F-행렬으로의 유효성 확장을 위해, 차원 대 표본크기 비율을 $ p/(n_1-1) $ 및 $ p/(n_2-1) $로 재정의함으로써 Zheng(2012)의 결과가 중심화된 F-행렬에 대해서도 성립함을 보여주기 위해.
• 추가 편향 보정 항을 포함하지 않는, Pan(2012)의 방법보다 더 단순하고 투명한 증명 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 원래 비율 $ y_n = p/n $ 대신 $ p/(n-1) $로 대체하여 중심화된 표본공분산행렬의 LSS에 대한 渐近적 평균과 분산 표현식을 재구성하기 위해.
• 선형변환에 대한 스펙트럼 통계의 불변성과 중심화된 행렬과 단순화된 행렬 간의 한계 스펙트럼분포(LSD)의 동치성 이용하기.
• 에르고딕성과 정규화 기법을 적용하여 $ oldsymbol{S}_x $와 $ oldsymbol{B}_x $의 경험적 스펙트럼분포(ESD) 간 오차를 통제하며, 그 차이가 $ O(n^{-1}) $임을 보임.
• Bai와 Silverstein(2009)의 행렬 추적 전개 및 스틸체스 변환 결과를 활용하여 리졸베ント의 渐近적 행동 유도하기.
• 복소해석학과 리졸베ント 항등식을 사용하여 $ oldsymbol{A}^{-1} $, $ oldsymbol{A}^{-2} $, 및 $ oldsymbol{ abla} $를 포함하는 추적의 한계 행동 유도하며, $ L_2 $ 수렴 보장하기.
• 복소상반평면 $ bC^+ $에서 리졸베ント 추적의 균일 수렴성을 확립하여, 중심화된 행렬 기반 LSS의 渐近적 모멘트 유도 가능하게 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 차원의 표본공분산행렬에 대한 선형 스펙트럼 통계(LSS)에 대한 중심극한정리(CLT)는 중심화된 표본공분산행렬을 사용할 경우에도 유지되는가?
• RQ2 중앙화된 표본공분산행렬에 CLT를 적용할 경우, 차원 대 표본크기 비율에 대한 적절한 渐近적 스케일링은 무엇인가?
• RQ3 Zheng(2012)의 다변량 F-행렬에 대한 CLT 결과는 비율 조정이 적절히 이루어지면 중심화된 F-행렬로도 확장 가능한가?
• RQ4 중앙화된 표본공분산행렬과 단순화된 표본공분산행렬 간 LSS CLT의 渐近적 편향은 어떻게 다를까?
• RQ5 중앙화된 행렬의 LSS에 대한 CLT 증명 프레임워크는 추가 편향 보정 항을 포함하는 Pan(2012)의 접근보다 더 단순하고 투명한가?

주요 결과

• 차원 대 표본크기 비율 $ y_n = p/n $를 $ p/(n-1) $로 대체하면, 중심화된 표본공분산행렬을 사용할 경우에도 큰 차원의 F-행렬에 대한 선형 스펙트럼 통계(LSS)에 대한 중심극한정리(CLT)가 유지됨을 보여줌.
• 중앙화된 표본공분산행렬의 LSS에 대한 渐近적 평균과 분산 표현식은 조정된 비율 $ p/(n-1) $ 하에서 단순화된 행렬과 동일하며, 추가적인 편향 보정 항이 필요 없음.
• 다변량 F-행렬의 경우, 비율 $ y_{n1} = p/n_1 $ 및 $ y_{n2} = p/n_2 $를 각각 $ p/(n_1-1) $ 및 $ p/(n_2-1) $로 대체하면 Zheng(2012)의 CLT 결과가 중심화된 F-행렬에 대해서도 성립함을 보여줌.
• 중앙화된 표본공분산행렬과 단순화된 표본공분산행렬 간 경험적 스펙트럼분포(ESD)의 차이는 $ O(n^{-1}) $ 수준이며, 적절한 스케일링 하에서는 한계 스펙트럼분포나 CLT에 영향을 주지 않음.
• 추가 편향 보정 항이 필요 없이 Pan(2012)의 결과를 단순화하여 더 투명하고 동치적인 표현으로 재구성함.
• 복소상반평면 $ bC^+ $에서 리졸베ント 추적의 $ L_2 $ 수렴성 확립을 통해 중심화된 행렬 기반 LSS의 渐近적 모멘트를 엄밀하게 도출 가능함.