[논문 리뷰] A Note on convergence of double sequences in a topological space

Amar Kumar Banerjee, Rahul Mondal|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 02.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위상수학적 공간에서 이중 수열의 수렴을 조사하며, 이상수렴을 통한 일반화를 위해 $d$-극한 공간 프레임워크를 도입한다. 이는 약간의 이상 조건 하에서 $I$-순차적으로 컴act인 공간—모든 이중 수열이 $I$-집적점을 갖는 공간—이 가산 컴팩트성을 띠며, 첫 번째 가산성과 가산 컴팩트성을 갖는 공간이 강력히 적합한 이상에 대해 $I$-순차적으로 컴팩트하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we have shown that a double sequence in a topological space satisfies certain conditions which in turn are capable to generate a topology on a non empty set. Also we have used the idea of I-convergence of double sequences to study the idea of I-sequentially compactness [3] in the sense of double sequences.

연구 동기 및 목표

• 단일 수열에서의 극한 공간 개념을 이중 수열으로 확장하여 위상수학적 수렴을 사용한다.
• 이중 수열의 위상수학적 공간에서의 $I$-수렴과 $I$-집적점의 정의 및 분석.
• $I$-순차적 컴팩트성이 가산 컴팩트성을 유도하는 조건을 확립한다.
• 첫 번째 가산성과 가산 컴팩트성을 갖는 공간이 강력히 적합한 이상에 대해 $I$-순차적으로 컴팩트하다는 것을 증명한다.
• 기존의 $I$-수렴과 순차적 컴팩트성에 관한 결과를 이중 수열 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 단일 수열의 $L(1)$–$L(3)$와 유사하게, 이중 수열을 위한 세 가지 수정된 수렴 공리에 기반한 $d$-극한 공간 구조를 도입한다.
• 비자명한 이상 $I$를 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 위에 정의하여 이중 수열의 $I$-수렴을 정의한다. 여기서 $x_{ij} \to x_0$는 $x_0$의 모든 근방 $U$에 대해 $\{(i,j) : x_{ij} \notin U\} \in I$일 때 성립한다.
• $I$-집적점의 개념을 도입한다: $y$가 $I$-집적점이 되기 위해서는 $y$의 모든 근방 $U$에 대해 $\{(i,j) : x_{ij} \in U\} \notin I$여야 한다.
• 모든 $H \times \mathbb{N}$ 및 $\mathbb{N} \times \{i\}$를 포함하는 강력히 적합한 이상의 개념을 사용하여 $P$-수렴이 $I$-수렴을 유도함을 보장한다.
• 가산 컴팩트성의 유한 교차 성질과 포함된 닫힌 집합의 특성과 같은 기법을 활용하여 $I$-순차적 컴팩트성과 가산 컴팩트성 간의 연결 고리를 설정한다.
• 하나의 부분수열 유사 이중 수열 $\{y_{ij}\}$을 대각선 유형의 구성으로 만들며, $y_{ij} = a_i$로 정의하여 $I$-수렴이 한 극한점 $y$로 수렴함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 수열의 수렴 위상 개념을 $d$-극한 공간 프레임워크를 사용하여 이중 수열으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 이중 수열을 통한 위상공간의 $I$-순차적 컴팩트성이 가산 컴팩트성을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 강력히 적합한 이상 $I$에 대해, 첫 번째 가산성과 가산 컴팩트성이 결합된 경우, 이중 수열에 대해 $I$-순차적으로 컴팩트한가?
• RQ4 이중 수열의 $I$-수렴은 위상공간에서 Pringsheim 수렴과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 강력히 적합한 이상은 어떻게 하여 이중 수열에서 $P$-수렴이 $I$-수렴을 유도하는가?

주요 결과

• 위상공간 내 이중 수열은 $L(1)$, $L(2)$, $L(3)$ 수렴 공리의 수정된 형태를 만족하며, 이는 $d$-극한 공간의 구축을 가능하게 한다.
• 모든 유한 집합 $H$에 대해 $H \times \mathbb{N}$을 포함하는 비자명한 이상 $I$에 대해, $I$-순차적 컴팩트성은 가산 컴팩트성을 유도한다.
• 이상 $I$가 강력히 적합하다면, 이중 수열의 $P$-수렴은 $I$-수렴을 유도한다.
• 첫 번째 가산성과 가산 컴팩트성을 갖는 공간에서는 모든 이중 수열이 $I$-집적점을 가지므로, 강력히 적합한 이상에 대해 $I$-순차적으로 컴팩트하다.
• $y_{ij} = a_i$이고 $a_i \in B_i(y) \cap T_i$인 이중 수열 $\{y_{ij}\}$의 구성은 $y$로의 $I$-수렴을 보장하며, 이는 $I$-순차적 컴팩트성의 증명에 기여한다.
• 구성된 $\{y_{ij}\}$의 범위 집합은 $\{x_{ij}\}$의 범위 집합에 포함되므로, $\{y_{ij}\}$의 $I$-집적점 행동은 $\{x_{ij}\}$의 $I$-집적점 행동을 유도한다.