[논문 리뷰] A note on convergence to stationarity of random processes with immigration

Alexander Marynych|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스코로호드 공간 $ D(\mathbb{R}) $ 에서 $ J_1 $-위상에 대해, 이민을 포함하는 일련의 확률과정에 대해 약한 수렴이 정상성으로 성립함을 증명한다. 상호작용 시간 $ \xi_k $ 가 비이차형이며 유한한 평균을 가지며, 과정 $ X_k $ 가 충분히 빠르게 감쇠할 경우, $ t\to\infty $ 일 때 $ (Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}} $ 가 수렴함을 보이며, $ X_k $ 와 $ \xi_k $ 간의 임의의 의존성도 허용함으로써 이전 연구에서 요구했던 독립성 조건을 완화한다.

ABSTRACT

Let $X_1, X_2,\ldots$ be random elements of the Skorokhod space $D(\mathbb{R})$ and $ξ_1, ξ_2, \ldots$ positive random variables such that the pairs $(X_1,ξ_1), (X_2,ξ_2),\ldots$ are independent and identically distributed. The random process $Y(t):=\sum_{k \geq 0}X_{k+1}(t-ξ_1-\ldots-ξ_k)1_{\{ξ_1+\ldots+ξ_k\leq t\}}$, $t\in\mathbb{R}$, is called random process with immigration at the epochs of a renewal process. Assuming that the distribution of $ξ_1$ is nonlattice and has finite mean while the process $X_1$ decays sufficiently fast, we prove weak convergence of $(Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}}$ as $t o\infty$ on $D(\mathbb{R})$ endowed with the $J_1$-topology. The present paper continues the line of research initiated in Iksanov, Marynych and Meiners (2015+).

연구 동기 및 목표

• 스코로호드 공간 $ D(\mathbb{R}) $ 에서 이민을 포함하는 일련의 확률과정에 대해 약한 수렴이 정상성으로 성립함을 증명하기 위해.
• 이민 시간 $ \xi_k $ 와 개별 과정 성분 $ X_k $ 간의 독립성 가정을 완화하여 임의의 의존성을 허용하기 위해.
• 이민 샷노이즈 과정에 대한 기능적 극한정리 결과를 독립 사례를 초월해 확장하기 위해.
• 이민을 포함하는 과정에 대해 $ D(\mathbb{R}) $ 에서 $ J_1 $-위상 하에 약한 수렴을 위한 일반적인 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 스코로호드 공간 $ D(\mathbb{R}) $ 에서의 $ J_1 $-위상 을 사용하여 점프를 포함한 경로의 수렴을 허용한다.
• 독립 identical 분포를 가진 상호작용 시간 $ \xi_k $ 를 갖는 임bedded 재생과정의 점근적 행동을 분석하기 위해 핵심 재생정리를 적용한다.
• 정상 재생과정과 임bedded 재생과정 간의 커플링을 이용하여 분포 수렴을 도출한다.
• 함수의 일부에 대해 $ (X, \xi) $ 의 결합분포와 dRi(이중적으로 오른쪽 연속적이고 적분 가능한) 성질을 활용하여 적분 가능성을 보장한다.
• 합의 극한을 평가하기 위해 재생정리를 적용하여 문제를 $ \hat{X} $ 와 $ \hat{\xi} $ 를 포함하는 기대값으로 환원한다.
• 재생정리를 사용하여 $ \xi $ 의 크기-편향 분포를 통해 임bedded 과정의 정상분포를 특성화하며, 항등식 $ \mathbb{E}[\phi(\xi)] = \frac{1}{\mu}\mathbb{E}[\xi \phi(\xi)] $ 를 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 이민을 포함하는 확률과정이 $ D(\mathbb{R}) $ 에서 약한 수렴을 통해 정상과정으로 수렴하는가?
• RQ2 이민 과정 $ \xi_k $ 와 개별 경로 과정 $ X_k $ 가 의존할 경우 약한 수렴 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ3 $ t\to\infty $ 일 때 과정 $ Y(t) $ 의 극한 정상분포는 무엇이며, 어떻게 특성화되는가?
• RQ4 $ D(\mathbb{R}) $ 에서의 $ J_1 $-위상은 점프와 이민을 포함하는 과정의 수렴 분석에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• $ (Y(u+t))_{u\in\mathbb{R}} $ 가 주어진 모멘트 및 감쇠 조건 하에서 $ t\to\infty $ 일 때 $ D(\mathbb{R}) $ 에서 $ J_1 $-위상 하에 약하게 수렴한다.
• 극한 정상분포는 $ \xi $ 의 크기-편향 분포로 특성화되며, 밀도는 $ t \cdot \mathbb{P}(\xi \in dt) $ 비례한다.
• 수렴은 $ X_k $ 와 $ \xi_k $ 가 임의의 의존성을 가질 경우에도 성립하며, 이는 이전 연구에서 요구한 독립성 조건을 제거한다.
• 임bedded 과정의 극한분포는 $ \mathbb{P}(-S_{-1}^* \leq y, S_0^* < z, X_0 \in A_0) = \frac{1}{\mu} \mathbb{E}[(z \wedge \hat{\xi} - (\hat{\xi} - y)_+)_+ \mathbf{1}_{\{\hat{X} \in A_0\}}] $ 로 주어진다.
• 증명은 핵심 재생정리와 함수 $ \hat{p}(u) $ 의 dRi 성질에 의존하며, 이는 적분 가능성을 보장하고 재생정리의 적용을 가능하게 한다.