[논문 리뷰] A Note on Non-Locality and Ostrogradski's Construction

Klaus Bering|ArXiv.org|2000. 07. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 2인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 오스트로그라스키의 형식에서 발생하는 경계 문제를 제거하기 위해 장 이론 재구성 기법을 사용하여 비국소 이론에 대한 해밀토니안 형식을 제안한다. 시간에 대한 비국소성을 공간 변수 $ x $ 를 도입하여 표현함으로써, 컴팩트 지지 함수성분을 갖는 국소 장 이론을 유도하고, 제2류 제약을 제1류 제약으로 재구성하며, 경계 항을 통해 일致한 파울리 괄호 구조를 수립함으로써 자코비 항등식 위반과 미분 가능성 문제를 피한다.

ABSTRACT

We consider the Hamiltonian treatment of non-local theories and Ostrogradski's formalism. This has recently also been discussed by Woodard (hep-th/0006207) and by Gomis, Kamimura and Llosa (hep-th/0006235). In our approach we recast the second class constraints into first class constraints and invoke the boundary Poisson bracket.

연구 동기 및 목표

• 오스트로그라스키의 형식에서 발생하는 경계 항과 자코비 항등식 위반으로 인한 비국소 이론의 일관성 문제를 해결하기 위해.
• 비국소 역학을 공간 변수 $ x $ 를 사용해 국소 장 이론으로 재구성함으로써, 수시 경계 조건이 필요 없도록 하기 위해.
• 수정된 경계 파울리 괄호 구조를 통해 제2류 제약을 제1류 제약으로 재구성하기 위해.
• 라그랑지안에 시간 도함수에 의존하지 않는 비국소 이론과 고차 도함수 이론에 대해 일관된 해밀토니안 프레임워크를 제공하기 위해.
• 분포형 운동량과 일반화된 좌표를 사용하여 이산 비국소 시스템에 대해 오스트로그라스키의 구성법을 일반화하기 위해.

제안 방법

• 비국소성을 공간 변수 $ x $ 에서 표현하기 위해 $ q(t) = Q(-t,t) $ 를 만족하는 장 $ Q(x,t) $ 를 도입하며, $ Q $ 는 캐리얼리티 조건 $ \partial_t Q = \partial_x Q $ 를 만족한다.
• 라그랑지안을 공간 적분으로 정의한다: $ L[Q](t) = \int dx \, \mathcal{L}(x,t) $, 여기서 $ \mathcal{L} $ 은 $ \partial_x^n Q $ 에 의존하여 시간 비국소성을 공간 비국소성으로 변환한다.
• 함수적 도함수가 잘 정의되도록 $ x $ 에 대해 컴팩트 지지를 갖는 PDE를 통해 운동량 $ P(x,t) $ 를 정의한다: $ \partial_t P = \partial_x P + \delta L / \delta Q^{(0)} $.
• 경계 파울리 괄호 형식을 사용하여 제약을 다루며, 수정된 제약 구조를 통해 제2류 제약을 제1류 제약으로 재구성한다.
• 이산 비국소성의 경우, 일반화된 오스트로그라스키 변수 $ Q^{i(n)}(t) = (\partial_x^n Q)(x_i,t) $ 와 무한소 이웃 영역에 대한 공간 적분을 통한 운동량 $ P_{i(n)}(t) $ 을 정의한다.
• 표준 해밀토니안 $ H(t) = \sum_{i,n} P_{i(n)} Q^{i(n+1)} - L[Q](t) $ 를 유도하며, 표준 파울리 괄호 $ \{Q^{i(n)}, P_{j(m)}\} = \delta^n_m \delta^i_j $ 를 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소 이론이 자코비 항등식 위반을 일으키지 않고 해밀토니안 프레임워크에서 어떻게 일관되게 제시될 수 있는가?
• RQ2 오스트로그라스키의 형식이 비국소 시스템에서 발생하는 경계 관련 일관성 문제를 피하기 위해 어떻게 조정될 수 있는가?
• RQ3 경계 파울리 괄호는 제2류 제약을 제1류 제약으로 전환하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기본 속도 기반 정의가 실패하는 비국소 이론에서 운동량은 어떻게 일관되게 정의될 수 있는가?
• RQ5 이산 비국소 시스템은 일반화된 좌표와 운동량을 갖는 국소적이고 제약이 없는 해밀토니안 시스템으로 재구성될 수 있는가?

주요 결과

• 장 재정의 $ Q(x,t) = q(x+t) $ 는 비국소적인 시간 의존성을 공간 의존성으로 변환하여 국소 장 이론적 제시를 가능하게 한다.
• 운동량 $ P(x,t) $ 는 컴팩트 지지를 갖는 PDE $ \partial_t P = \partial_x P + \delta L / \delta Q^{(0)} $ 를 통해 정의되며, 함수적 도함수가 잘 정의됨을 보장한다.
• 경계 파울리 괄호 구조는 제2류 제약을 제1류 제약으로 재구성할 수 있게 하여 해밀토니안 제시에서 발생하는 일관성 문제를 해결한다.
• 이산 비국소성의 경우 운동량 공식은 $ P_{i(n)}(t) = O_{(n+1)}(x_i,t) $ 로 변형되며, 여기서 $ O_{(k)} $ 는 고차 도함수 오일러-라그랑주 도함수이다.
• 결과적으로 유도된 해밀토니안 시스템은 제약이 없고 표준적인 구조를 가지며, 일반화된 좌표 $ Q^{i(n)}(t) $, 운동량 $ P_{i(n)}(t) $, 그리고 표준 파울리 괄호를 갖는다.
• 장의 컴팩트 지지 성질 덕분에 $ q(t) $ 에 대한 명시적 경계 조건이 필요 없으며, 물리적 일관성이 보장된다.