[论文解读] A note on three-point functions of conserved currents

Alexander Zhiboedov|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2012

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用 50

一句话总结

本文推导了任意 $d$-维共形场论（CFT）中任意自旋的守恒流的三点多函数的完整形式，通过共形对称性和流守恒将其固定为有限个常数。文章为任意 $d$ 中所有可能的结构引入了生成泛函，区分了偶数维和奇数维中的不同类型，并表明在奇数维 $d>3$ 中，存在无穷多个在已知自由CFT中未实现的结构。

ABSTRACT

We find the form of three-point correlation functions of traceless symmetric conserved currents of arbitrary spin in d-dimensional conformal field theory (CFT). These are fixed up to several constants by conformal symmetry and current conservation conditions. We present generating functionals for all structures in arbitrary d. In even dimensions we present an interpretation for each structure in terms of the corresponding free field. In odd dimensions d>3 an infinite number of structures is found which are not generated by known CFTs.

研究动机与目标

• 推导 $d$-维CFT中迹对称的守恒流的三点多函数的完整形式。
• 对由共形对称性和流守恒条件固定的全部可能结构进行分类。
• 为任意 $d$ 中的这些结构提供生成泛函，区分偶数维与奇数维。
• 通过自由场实现解释偶数维中的结构，并在奇数维中识别出新的非自由结构。
• 建立一种系统化方法，通过作用于共形不变量多项式结构上的微分算子来计算关联函数。

提出的方法

• 使用嵌入形式和光锥极化矢量构造关联函数的生成泛函。
• 应用微分算子 $\mathcal{D}_i$，将 $H_{ij}$ 和 $V_i$ 的多项式空间映射，以强制实现流守恒。
• 施加条件 $\mathcal{D}_i \langle\langle j_{s_1}j_{s_2}j_{s_3}\rangle\rangle = 0$ 以确定允许的结构。
• 引入共形不变量 $V_i$ 和 $H_{ij}$，其中 $\Lambda_1 = V_1V_2V_3 + \frac{1}{2}(V_1H_{23} + V_2H_{13} + V_3H_{12})$ 与 $\Lambda_2 = H_{12}H_{13}H_{23}$，以组织解的结构。
• 分析光锥极限（$x_{ij}^+ \to 0$）以固定多项式假设中系数的递推关系。
• 使用包含 $\Lambda_1^j$ 和 $\Lambda_2^k$ 项的假设（$j=0, \frac{1}{2}, 1$）对结构进行分类，并在低自旋情况下证明唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $d$-维CFT中，任意自旋的守恒流的三点多函数的一般形式是什么？
• RQ2 此类三点多函数存在多少个独立结构，它们如何依赖于时空维度 $d$？
• RQ3 所有这些结构是否都能在已知的自由CFT中实现？还是在奇数维中存在新的、非自由的结构？
• RQ4 能否构造一个生成泛函，以捕捉任意 $d$ 中所有可能的结构？
• RQ5 光锥极限在结构分类和固定多项式假设中系数的过程中起什么作用？

主要发现

• 在 $d$-维CFT中，三点多函数 $\langle j_{s_1}j_{s_2}j_{s_3}\rangle$ 由共形对称性和流守恒固定为有限个常数。
• 在偶数维中，所有结构均对应于自由标量、狄拉克费米子或 $(d-2)/2$-形式理论中的结构。
• 在奇数维 $d>3$ 中，存在无穷多个独立结构，这些结构无法由任何已知的自由CFT生成。
• 对于 $d \geq 4$，应力张量的三点多函数由且仅由三种结构组成：$j=0$、$j=\frac{1}{2}$ 和 $j=1$ 类型。
• 在 $j=0$ 情况下，生成泛函是 $H_{ij}$ 和 $V_i$ 的多项式，其系数由递推关系确定。
• 在 $j=1$ 结构中，假设 $\Lambda_1^2 + \gamma \Lambda_2$ 唯一确定，其中 $\gamma = \frac{1}{2(d-2)}$，且该结构在 $d \geq 4$ 时对应力张量三点多函数有贡献。