[논문 리뷰] A Novel Partitioned Approach for Reduced Order Model -- Finite Element Model (ROM-FEM) and ROM-ROM Coupling

Amy de Castro, Paul Kuberry외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 09.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 경계에서의 유량을 제거하기 위해 슈어 보완법(Schur complement)을 사용하는 단일체적 형식을 통해 감소 차원 모델(ROMs)과 유한 요소 모델(FEMs) 또는 다른 ROMs를 명시적인 분할된 방법으로 결합하는 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 반복이 필요 없는 한 번의 스텝으로 결합을 수행하며, 높은 정확도와 계산 효율성을 달성한다. 수치 결과는 다양한 기저 크기와 페클레 수(Péclet numbers) 조건에서 ROM-FEM 및 ROM-ROM 해가 전역 FEM 해와 매우 유사하게 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

Partitioned methods allow one to build a simulation capability for coupled problems by reusing existing single-component codes. In so doing, partitioned methods can shorten code development and validation times for multiphysics and multiscale applications. In this work, we consider a scenario in which one or more of the "codes" being coupled are projection-based reduced order models (ROMs), introduced to lower the computational cost associated with a particular component. We simulate this scenario by considering a model interface problem that is discretized independently on two non-overlapping subdomains. We then formulate a partitioned scheme for this problem that allows the coupling between a ROM "code" for one of the subdomains with a finite element model (FEM) or ROM "code" for the other subdomain. The ROM "codes" are constructed by performing proper orthogonal decomposition (POD) on a snapshot ensemble to obtain a low-dimensional reduced order basis, followed by a Galerkin projection onto this basis. The ROM and/or FEM "codes" on each subdomain are then coupled using a Lagrange multiplier representing the interface flux. To partition the resulting monolithic problem, we first eliminate the flux through a dual Schur complement. Application of an explicit time integration scheme to the transformed monolithic problem decouples the subdomain equations, allowing their independent solution for the next time step. We show numerical results that demonstrate the proposed method's efficacy in achieving both ROM-FEM and ROM-ROM coupling.

연구 동기 및 목표

• 고정밀도 FEM이 너무 비싸기 때문에 다물리계 시뮬레이션에서 계산적 병목 현상을 해결하기 위해 FEM을 감소 차원 모델(ROMs)으로 대체하는 것.
• 비중첩된 하위영역에 있는 FEM 또는 다른 ROMs와의 원활한 통합을 가능하게 하는 분할된 결합 프레임워크를 개발하는 것.
• 시간적 명시적 적분을 통해 하위영역 해를 분리하여 풀 수 있도록 하면서도 경계에서 정확성과 보존성을 유지하는 단일체적이고 반복이 없는 접근법을 제공하는 것.
• 다양한 기저 크기와 페클레 수 조건에서 이동-확산 문제와 순수 이동 문제에 대해 방법을 검증하는 것.
• ROM-FEM 및 ROM-ROM 결합이 계산 비용을 줄이면서도 전역 FEM 해와 비교할 수 있는 정확도를 달성할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 독립적인 공간 이산화를 가진 두 개의 비중첩 하위영역에서 단일체적 전달 문제를 수립한다.
• 스냅샷 집합에 대해 적절한 직교 분해(POD)를 통해 ROMs를 구성한 후, 감소 기저 위에 갈레르킨 투영을 수행한다.
• 경계에서의 유량을 나타내기 위해 라그랑주 승수를 도입하고, 이 유량을 이중 슈어 보완법을 통해 제거하여 시스템을 분리한다.
• 변형된 단일체적 시스템에 대해 명시적 시간 적분 기법을 적용하여 각 시간 단계에서 하위영역 문제를 독립적으로 풀 수 있도록 한다.
• 슈어 보완법을 사용하여 각 하위영역에 대한 경계에서의 유량을 노이만 경계 조건으로 근사화함으로써 분할된 해법 전략을 가능하게 한다.
• 각 하위영역를 ROM 또는 FEM 코드로 간주함으로써 ROM-FEM 및 ROM-ROM 결합을 동시에 가능하게 하고, 일관된 유량 연속성 조건을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일체적이고 반복이 없는 분할된 방법이 ROMs와 FEMs 또는 다른 ROMs를 효과적으로 결합하면서도 정확성과 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 다양한 기저 크기와 페클레 수 조건에서 ROM-FEM 및 ROM-ROM 결합의 정확도는 전역 FEM 해와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 슈어 보완법 기반의 유량 제거 방법이 경계 연속성을 얼마나 잘 유지하며, 임의의 오염된 아티팩트를 방지하는가?
• RQ4 하나 이상의 하위영역에서 FEM을 ROM으로 대체함으로써 명시적 분할된 방법이 계산 효율성을 유지하는가?
• RQ5 시험된 이동-확산 모델을 초월하여 비선형 및 다물리계 문제로 이 방법을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 고 페클레 수 및 순수 이동 문제 모두에서 최종 시간 단계에서 ROM-FEM 및 ROM-ROM 해는 전역 FEM 해와 시각적으로 구분되지 않는다.
• 두 하위영역 모두에서 경계 해가 매우 잘 일치함을 확인하여, 이 결합 방법이 임의의 오염된 아티팩트나 불연속성을 유도하지 않음을 확인한다.
• 전역 해의 상대 오차는 POD 기저 크기가 증가함에 따라 감소하며, 일부 중간 기저 크기에서는 전역 ROM 해가 전역 FEM 해보다 더 높은 정확도를 보인다.
• 기저 크기가 세분화됨에 따라 ROM-FEM 및 ROM-ROM 해는 전역 FEM 해로 점점 수렴함을 확인하여, 이 방법의 일致성(일致성)을 검증한다.
• 고정밀도 FEM을 ROM으로 대체함으로써 상당한 계산 비용 절감을 달성하면서도 높은 해의 정밀도를 유지한다.
• 이 방법은 다양한 페클레 수 조건에서 안정적으로 작동하며, 통합된 반복이 없는 프레임워크 내에서 ROM-FEM 및 ROM-ROM 결합을 모두 지원한다.