[논문 리뷰] A Numerical Measure of the Instability of Mapper-Type Algorithms

Francisco Belchi Guillamon, Jacek Brodzki외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 12.

Advanced Clustering Algorithms Research인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 매퍼 유형 알고리즘을 위한 수치적 불안정성 측도를 도입하여, 출력 그래프가 매개변수 선택에 얼마나 민감한지를 정량화한다. 이는 이론적 상한을 유도하고, 안정적인 매퍼 출력이 불안정성 지형의 국소 최소값으로서 나타남을 보여주어 체계적인 매개변수 선택을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Mapper is an unsupervised machine learning algorithm generalising the notion of clustering to obtain a geometric description of a dataset. The procedure splits the data into possibly overlapping bins which are then clustered. The output of the algorithm is a graph where nodes represent clusters and edges represent the sharing of data points between two clusters. However, several parameters must be selected before applying Mapper and the resulting graph may vary dramatically with the choice of parameters. We define an intrinsic notion of Mapper instability that measures the variability of the output as a function of the choice of parameters required to construct a Mapper output. Our results and discussion are general and apply to all Mapper-type algorithms. We derive theoretical results that provide estimates for the instability and suggest practical ways to control it. We provide also experiments to illustrate our results and in particular we demonstrate that a reliable candidate Mapper output can be identified as a local minimum of instability regarded as a function of Mapper input parameters.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 선택에 대한 높은 민감성으로 인해 체계적인 매개변수 선택이 부족한 매퍼 알고리즘 문제를 해결하기 위해.
• 다양한 매개변수 설정에서 매퍼 출력의 내재적이고 정량적인 불안정성 측도를 정의하기 위해.
• 안정적인 매개변수 선택을 안내하기 위해 불안정성에 대한 이론적 추정을 도출하기 위해.
• 안정적인 매퍼 출력이 불안정성 지형에서 국소 최소값으로서 식별될 수 있음을 경험적으로 보여주기 위해.

제안 방법

• 다른 매개변수 구성에서 매퍼 출력 그래프의 변동을 기반으로 한 수치적 불안정성 측도를 제안한다.
• 매개변수에 대한 함수 프레임워크를 사용하여 매퍼 출력을 매개변수의 함수로 모델링함으로써, 그 가변성에 대한 분석적 연구를 가능하게 한다.
• 위상수학적 및 확률적 추론을 사용하여 불안정성에 대한 이론적 상한을 도출한다.
• 계산 실험을 통해 매개변수 격자 전역에서의 불안정성 평가 및 국소 최소값 식별을 수행한다.
• 실제 및 시뮬레이션 데이터셋에 불안정성 측도를 적용하여 안정적인 출력을 탐지하는 데의 효과성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매퍼 알고리즘의 출력은 입력 매개변수의 변화에 따라 어떻게 변하는가?
• RQ2 매개변수 선택에 대한 매퍼 출력 민감성을 캡처할 수 있는 정량적 불안정성 측도를 정의할 수 있는가?
• RQ3 매퍼 출력의 불안정성에 대한 이론적 상한이 존재하는가?
• RQ4 안정적인 매퍼 출력은 불안정성 지형에서 국소 최소값으로 식별될 수 있는가?

주요 결과

• 매퍼 출력의 불안정성은 매개변수 선택에 크게 의존하며, 다양한 구성에서 뚜렷한 변동성이 관찰된다.
• 불안정성에 대한 이론적 상한이 도출되어, 주어진 매퍼 출력의 안정성 평가를 체계적으로 수행할 수 있는 방법을 제공한다.
• 경험적 결과는 안정적인 매퍼 출력이 불안정성 함수의 국소 최소값과 일관되게 일치함을 보여준다.
• 불안정성 측도를 통해 안정적이고 재현 가능한 그래프 구조를 생성하는 구성 식별이 효과적으로 가능해진다.