[논문 리뷰] A p-adic analogue of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for modular abelian varieties

Jennifer S. Balakrishnan, J. Steffen Müller외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 09.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 p진 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측을 Q 위의 고차원 모듈라 아벨 다양체에 대해 양호한 순서의 경우로 일반화한다. 이는 주기 정규화를 통한 p진 L함수의 구성과 그의 보간 성질 검증을 통해 이루어진다. 이 추측은 타원곡선의 경우에 대해 Mazur-Tate-Teitelbaum의 원래 형태로 축소되며, 랭크 0일 때 고전적 BSD 추측과 일치한다. 또한 분석적 랭크 4인 2차원 아벨 다양체에 대해 수치적 증거가 존재한다.

ABSTRACT

Mazur, Tate, and Teitelbaum gave a p-adic analogue of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves. We provide a generalization of their conjecture in the good ordinary case to higher dimensional modular abelian varieties over the rationals by constructing the p-adic L-function of a modular abelian variety and showing that it satisfies the appropriate interpolation property. This relies on a careful normalization of the p-adic L-function, which we achieve by a comparison of periods. Our generalization agrees with the conjecture of Mazur, Tate, Teitelbaum in dimension 1 and the classical Birch Swinnerton-Dyer conjecture formulated by Tate in rank 0. We describe the theoretical techniques used to formulate the conjecture and give numerical evidence supporting the conjecture in the case when the modular abelian variety is of dimension 2.

연구 동기 및 목표

• Q 위의 고차원 모듈라 아벨 다양체에 대해, 양호한 순서의 경우 타원곡선에서의 p진 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측을 일반화하는 것.
• 적절한 보간 성질을 만족하는 모듈라 아벨 다양체에 대한 p진 L함수를 구성하는 것.
• 랭크 0일 때 고전적 BSD 추측과 일致하고, 차원 1일 때 원래의 Mazur-Tate-Teitelbaum 추측과 일치하도록 보장하는 것.
• 특수한 계산을 통해 랭크 4인 모듈라 아벨 곡면의 변형에 대해 이 일반화된 추측을 뒷받침하는 이론적 및 수치적 증거를 제공하는 것.
• 고차원에서 p진 조정자와 p진 L함수의 특수값을 계산하는 프레임워크를 수립하는 것.

제안 방법

• 모듈라 기호와 실주기 및 p진 주기 간의 비교를 통한 주기 정규화를 이용해 모듈라 아벨 다양체의 p진 L함수를 구성한다.
• 실조정자를 코심형 특성의 로그와 갈루아군의 위상적 생성자에 의해 정규화함으로써 p진 조정자를 정의한다.
• 마이너스 모듈라 기호 사상과 그 정규화 인자 δ⁻을 사용하여 p진 L함수의 특수값을 산술 불변량과 연결한다.
• 2-강하법을 적용하고, Qp-유리 지지점을 가진 분해자들에 의해 생성되는 유한지수 부분군을 통해 p진 조정자를 계산한다.
• Magma를 사용하여 유리점들을 계산하고, 변형된 아벨 다양체에서 랭크 상한을 검증한다.
• p진 L값, p진 조정자, p진 승수를 비교하여 추측을 수치적으로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈라 아벨 다양체에 대한 p진 BSD 추측은 랭크 0일 때 고전적 BSD 추측과 일치하고, 차원 1일 때 Mazur-Tate-Teitelbaum 추측을 일반화하는가?
• RQ2 고차원 모듈라 아벨 다양체의 p진 L함수는 어떻게 구성하고 정규화하여 적절한 보간 성질을 만족시키는가?
• RQ3 2차 이상의 아벨 다양체에 대한 일반화된 추측에서 p진 조정자와 p진 승수 εp의 역할은 무엇인가?
• RQ4 분석적 랭크가 높은 경우, 예를 들어 랭크 4의 경우에 대해 일반화된 추측에 대한 수치적 증거를 확보할 수 있는가?
• RQ5 고차원 모듈라 아벨 다양체에 대한 p진 설정에서, 타마가와 수, 토크르 서브군, 그리고 샤파레비치-타이틀 그룹의 순서는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 일반화된 p진 BSD 추측은 랭크 0일 때 고전적 BSD 추측과 일치하며, Sh와 토크르가 자명한 J0(31)의 변형에 대해 수치적으로 검증되었으며, Sh의 예측 순서가 1로 도출되었다.
• D = -47인 Q 위의 J0(31)의 랭크 4 변형에 대해 2-강하법이 Mordell-Weil 랭크가 정확히 4임을 확인하였고, p진 조정자는 높은 p진 정밀도로 계산되었다.
• p ∈ {29, 61, 79}에 대해 p진 L값은 각각 202402009906 + O(29⁸), 4326648666405 + O(61⁸), 1513185184992411 + O(79⁸)로 계산되었으며, 예측된 산술 불변량과 일치한다.
• p진 조정자 값은 각각 351486231941615978 + O(29¹²), 1650697608489237057465 + O(61¹²), 8155329946924028539010 + O(79¹²)로 계산되어 추측과 일치함을 확인하였다.
• 랭크 0 변형에서 L값과 주기 간의 비교를 통해 δ⁻ = -1/4로 정규화 인자를 결정하였으며, 이는 일관된 p진 L함수 구성에 기여하였다.
• 수치적 증거는 제시된 p진 정밀도까지 추측을 지지하며, p진 조정자와 L값의 곱이 |Sh| = 1을 가정할 경우 |Sh|, 타마가와 수, 토크르를 포함한 예측된 산술 인자와 일치한다.