[논문 리뷰] A $p$-Laplacian Neumann problem with a possibly supercritical nonlinearity

Francesca Colasuonno|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 15.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초위상 비선형성 $f(u)$를 가진 $p$-라플라시안 노이만 문제에 대해 비상수, 양수, 반경 방향으로 비감소하는 해의 존재성을 증명한다. 이는 절단 방법과 마운틴 패스 유형의 추론을 사용하여 이루어지며, 핵심 결과는 $f(u) = u^{q-1}$ 이고 $q > p$일 때, $q \to \infty$일 때 해들이 한정된 딜리클레 문제의 유일한 해 $G$로 $W^{1,p}(B)$ 및 $C^{0,\mu}(\overline{B})$에서 수렴한다는 것이다. 초위상 성장 문제에 대처하기 위해, 균일한 $L^\infty$ 유계성 조건이 확보되는 유계된 원추 영역 내에서 반경 대칭 함수의 공간을 고려함으로써 분석이 가능해진다.

ABSTRACT

We look for nonconstant, positive, radially nondecreasing solutions of the quasilinear equation $-Δ_p u+u^{p-1}=f(u)$ with $p>2$, in the unit ball $B$ of $\mathbb R^N$, subject to homogeneous Neumann boundary conditions. The assumptions on the nonlinearity $f$ are very mild and allow it to be possibly supercritical in the sense of Sobolev embeddings. The main tools used are the truncation method and a mountain pass-type argument. In the pure power case, i.e., $f(u)=u^{q-1}$, we detect the limit profile of the solutions of the problems as $q o\infty$.

연구 동기 및 목표

• 초위상 비선형성 $f(u)$를 가진 $p$-라플라시안 노이만 문제에 대해 비상수, 양수, 반경 방향으로 비감소하는 해의 존재성을 확립한다.
• 비선형성이 초위상일 경우, 에너지 함수가 $W^{1,p}(B)$에서 잘 정의되지 않기 때문에 표준 변분 방법이 실패할 수 있는 문제에 대응한다.
• 순수 거듭제곱 비선형성 $f(u) = u^{q-1}$에서 거듭제곱 $q$가 무한대로 갈 때 해의 점근적 행동을 분석한다.
• 해의 극한 프로파일이 $p$-라플라시안과 0인 우변을 가지는 한정된 딜리클레 문제의 유일한 해 $G$임을 보인다.
• $W^{1,p}(B)$ 및 $C^{0,\mu}(\overline{B})$에서 모든 $\mu \in (0,1)$에 대해 해 $u_q$의 수렴이 일어남을 보인다.

제안 방법

• 원래의 초위상 비선형성 $f$를 유계된 영역에서 $f$와 일치하는 하위위상 비선형성 $\tilde{f}$로 대체하기 위해 절단 방법을 사용하여, 에너지 함수가 적절한 함수 공간에서 잘 정의되도록 보장한다.
• 비음수이자 반경 방향으로 비감소하는 함수들의 닫힌 볼록 원추 $\mathcal{C} \subset W^{1,p}_{\mathrm{rad}}(B)$로 문제를 제한함으로써, 임베딩 추정을 통해 균일한 $L^\infty$ 유계성이 확보됨을 이용한다.
• 에너지 함수 $\tilde{I}$의 임계점을 원추 $\mathcal{C}$ 내에서 찾기 위해, 원추가 $W^{1,p}$ 위상에서 내부가 비어 있으므로, 마운틴 패스 유형의 추론을 적용한다.
• 임계점을 찾기 위해 네하리 유형의 집합 $\mathcal{N}_*$를 사용하며, 상수 해 $u_0$가 국소 최소값이 아니라는 것을 증명함으로써 마운틴 패스 기하학을 확보한다.
• 이차 테일러 전개와 은직함수정리를 사용하여, 조건 (f₃)에 기반해 비특이성을 확보함으로써, 상수 해 근처에서 마운틴 패스 기하학을 검증한다.
• 해 $u_q$에 대한 균일한 사전 유계성 조건을 확립함으로써, $q \to \infty$일 때 약한 수렴과 강한 수렴을 각각 $W^{1,p}(B)$ 및 $C^{0,\mu}(\overline{B})$에서 수렴하는 극한 프로파일 $u_\infty$를 추출할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초위상 비선형성을 가진 $p$-라플라시안 노이만 문제에서, $f$에 대한 온건한 조건 하에 비상수, 양수, 반경 방향으로 비감소하는 해가 존재하는가?
• RQ2 표준 소볼레프 임베딩이 실패하는 상황에서, 초위상 비선형성이 존재할 경우 에너지 함수가 의미 있게 정의되고 최소화될 수 있는가?
• RQ3 순수 거듭제곱 비선형성 $f(u) = u^{q-1}$을 가지는 $p$-라플라시안 노이만 문제의 해가 $q \to \infty$일 때 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 이러한 해의 극한 프로파일이 $-\Delta_p G + G^{p-1} = 0$ in $B$, $G = 1$ on $\partial B$를 만족하는 유일한 해 $G$인가?
• RQ5 $u_q$의 수렴이 $W^{1,p}(B)$ 및 $C^{0,\mu}(\overline{B})$에서 모든 $\mu \in (0,1)$에 대해 일어나는가?

주요 결과

• 모든 비선형성 $f$가 (f₁)–(f₃)를 만족할 경우, 단위 구 $B \subset \mathbb{R}^N$, $p > 2$에서 비상수, 양수, 반경 방향으로 비감소하는 해가 적어도 하나 존재한다. 이는 $f$가 초위상일지라도 성립한다.
• 만일 $n$개의 서로 다른 점 $u_0^{(i)}$가 전방성 조건 (f₃)을 만족한다면, 적어도 $n$개의 서로 다른 비상수 해가 존재한다.
• 순수 거듭제곱 비선형성 $f(u) = u^{q-1}$, $q > p$일 때, 해 $u_q$는 $q \to \infty$일 때 $G$로 $W^{1,p}(B) \cap C^{0,\mu}(\overline{B})$에서 수렴한다. 여기서 $G$는 $-\Delta_p G + G^{p-1} = 0$ in $B$, $G = 1$ on $\partial B$를 만족한다.
• 에너지 노름의 수렴 $\|u_q\|_{W^{1,p}(B)} \to \|G\|_{W^{1,p}(B)}$와 함께, 공간의 강한 볼록성 덕분에 $W^{1,p}(B)$에서 강한 수렴이 발생한다.
• 극한 프로파일 $G$는 $W^{1,p}(B)$ 내에서 $u|_{\partial B} = 1$ 조건을 만족하는 함수들 중에서 딜리클레 에너지 $\frac{1}{p}\|u\|_{W^{1,p}(B)}^p$의 최소화자로서 유일하게 달성되며, 이 최소값은 오직 $G$에서만 도달된다.
• 해 $u_q$에 대한 사전 유계성 조건 $\|u_q\|_{C^{1}(\overline{B})} \leq C$가 $q$에 대해 균일하므로, 극한 프로파일 $u_\infty = G$의 존재를 보장하고 점근적 분석의 타당성을 입증한다.