[논문 리뷰] A Phase Theory of MIMO LTI Systems

Wei Chen, Dan Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 08.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 46인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 전달 함수가 (반-)섹터성인 시스템에 대해 주파수에 따라 변하는 위상 응답을 정의하여 다입력다출력(MIMO) 선형시간불변(LTI) 시스템에 대한 위상 이론을 제안한다. 소위 작은 위상 정리라는 소위 작은 이득 정리의 위상 기반 대응체를 수립하고, 위상 계산을 위한 섹터화된 실수 보조정리(sectored real lemma)를 도출함으로써, 위상 정보를 기반으로 한 안정성 분석 및 설계가 가능해져 MIMO 제어 이론의 기초 프레임워크를 완성한다.

ABSTRACT

In this paper, we define the phase response for a class of multi-input multi-output (MIMO) linear time-invariant (LTI) systems whose frequency responses are (semi-)sectorial at all frequencies. The newly defined phase concept subsumes the well-known notions of positive real systems and negative imaginary systems. We formulate a small phase theorem for feedback stability, which complements the celebrated small gain theorem. The small phase theorem lays the foundation of a phase theory of MIMO systems. We also discuss time-domain interpretations of phase-bounded systems via both energy signal analysis and power signal analysis. In addition, a sectored real lemma is derived for the computation of MIMO phases, which serves as a natural counterpart of the bounded real lemma.

연구 동기 및 목표

• 50년 이상 동안 널리 수용되지 않은 MIMO LTI 시스템에 대한 통합된 위상 개념의 부재로 인해, 잘 알려진 작은 이득 정리의 위상 기반 대응체 개발이 저해되어 온 문제를 해결하고자 한다.
• 각 주파수에서 전달 함수가 섹터 내에 존재하는 MIMO 시스템에 대해 주파수 도메인 위상 응답을 정의함으로써, 양의 실수 및 음의 허수 시스템과 같은 개념을 일반화하고자 한다.
• 소위 작은 위상 정리를 수립하여, 위상이 제한된 조건을 만족할 경우 피드백 시스템이 안정됨을 보장함으로써, 크기 기반 분석에서 작은 이득 정리가 수행하는 역할과 유사한 위상 기반 안정성 기준을 확립하고자 한다.
• 상태공간 기반의 위상 계산을 위한 섹터화된 실수 보조정리를 유도함으로써, 유계 실수 보조정리의 상태공간 대응체로 기능한다.
• 에너지 및 전력 신호 분석을 통해 위상 제한 시스템의 시간 도메인 해석을 제공함으로써, 주파수 도메인 위상 성질과 물리적 거동을 연결하고자 한다.

제안 방법

• MIMO LTI 시스템의 위상 응답을 그 펄라 분해의 유니터리 부분의 고유값의 원소들에 대한 각도의 집합으로 정의하며, 각 주파수에서 섹터 내에 제한된다.
• Φ∞-섹터성(Φ∞-sectoriality)의 개념을 도입하여, 위상 응답이 [α, β] 섹터 내에 있으며 β − α ≤ π를 만족하는 경우를 다루며, 양의 실수 및 음의 허수 시스템을 일반화한다.
• 소위 작은 위상 정리 수립: 루프 전달 함수의 위상이 π보다 작은 너비의 섹터 내에 있을 경우, 피드백 시스템은 안정하다.
• 섹터화된 실수 보조정리 유도: 헤르미트 행렬과 회전된 시스템 행렬을 포함하는 상태공간 LMI 조건을 통해 Φ∞-섹터성을 검증한다.
• 일반화된 KYP 보조정리를 활용하여 주파수 도메인 위상 조건을 시간 도메인에서 해석 가능한 LMI로 연결함으로써 안정성 및 위상 계산을 가능하게 한다.
• 에너지 신호 및 전력 신호 분석을 통해 위상 제한 시스템을 시간 도메인에서 해석하며, 위상 제약 조건이 에너지 소산 및 신호 노름과 관련이 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 50년 이상 동안 널리 수용되지 않은 정의가 존재하는 바, (반-)섹터성 주파수 응답을 갖는 MIMO LTI 시스템에 대해 일관되고 일반적인 위상 개념을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 피드백 안정성에 대해 작은 이득 정리의 위상 기반 대응체로 작용할 수 있는 작은 위상 정리를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 에너지 및 전력 신호 분석을 통해 위상 제한 MIMO 시스템의 시간 도메인 물리적 해석은 무엇이며, 특히 에너지 소산 및 신호 노름 측면에서 어떻게 설명할 수 있는가?
• RQ4 상태공간 표현을 이용해 MIMO 시스템의 위상을 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇이며, 이에 대응하는 LMI 조건은 무엇인가?
• RQ5 제안된 위상 이론이 양의 실수 및 음의 허수 시스템과 같은 기존 개념을 어떻게 일반화하고 통합하는가?

주요 결과

• 논문은 주파수 응답이 (반-)섹터성인 MIMO LTI 시스템에 대해 위상 응답을 성공적으로 정의하였으며, 양의 실수 및 음의 허수 시스템을 일반화하였다.
• 소위 작은 위상 정리가 수립되었으며, 루프 전달 함수의 위상이 π보다 작은 너비의 섹터 내에 있을 경우 피드백 시스템이 안정됨을 보여주어 위상 기반 안정성 기준을 제공하였다.
• 섹터화된 실수 보조정리가 도출되었으며, 이는 Φ∞-섹터성을 검증하기 위한 LMI 조건으로서, 특수한 경우 α = −π/2 및 β = π/2일 때 고전적 양의 실수 보조정리로 축소된다.
• 위상 응답이 시간 도메인 에너지 및 전력 신호 해석과 일관됨을 입증하였으며, 주파수 도메인 위상 행동과 물리적 신호 에너지 소산을 연결하였다.
• 섹터가 [−π/2, π/2]일 경우 고전적 수용성 정리가 특수한 경우로 포함됨을 보여주어 기존 결과와의 일관성을 확인하였다.
• 이 프레임워크는 이산 시간 시스템 및 비선형 시스템으로도 확장 가능하며, 혼합 이득-위상 분석 및 설계에 대한 후속 연구가 진행 중이다.