[논문 리뷰] A Polynomial Time Algorithm for The Traveling Salesman Problem

S. A. Gubin|ArXiv.org|2006. 10. 09.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 다항 시간 선형 프로그래밍을 통해 비대칭 TSP 다면체를 표현함으로써 비대칭 TSP 문제에 대한 다항 시간 알고리즘을 제시한다. 정점 재라벨링 제약 조건을 표현하기 위해 호환성 행렬을 사용하여 방향성 해밀턴 순환 문제(DHC)를 다항 시간 내에 해결 가능한 선형 방정식 및 부등식의 체계로 환원한다. 이는 올바르다면 P = NP임을 암시한다.

ABSTRACT

The ATSP polytope can be expressed by asymmetric polynomial size linear program.

연구 동기 및 목표

• 비대칭 TSP 다면체가 다항 크기의 선형 프로그래밍으로 표현될 수 있는지에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 선형 프로그래밍을 통한 NP-완전 문제인 방향성 해밀턴 순환(DHC) 문제에 대한 다항 시간 해법을 제공하기 위해.
• ATSP가 크기가 O(n^4)인 선형 프로그래밍 문제로 환원될 수 있으며, 다항 시간 내에 해결 가능함을 보여주기 위해.
• 선형 시스템의 해공간이 방향 그래프 내 해밀턴 순환에 정확히 대응됨을 보여주기 위해.
• 이 방법이 얀나카키스의 의미에서 비대칭이므로 그의 대칭성 장벽을 우회함을 확립하기 위해.

제안 방법

• DHC 문제를 이차 부등식 체계로 표현한다: $ A_G \geq X S X^T $, 여기서 $ X $ 는 순열 행렬이고 $ S $ 는 순환 순열 행렬이다.
• 각 블록 $ C_{ij} $ 가 정점 쌍 $ (\mu, \nu) $ 가 인접성 기반으로 $ (i, j) $ 로 재라벨링될 수 있는지 여부를 인코딩하는 호환성 행렬 $ C = (C_{ij})_{n \times n} $ 를 도입한다.
• DHC 결정 및 탐색 문제를 선형 방정식 및 부등식의 체계로 인코딩한다: (1.8) 및 (1.9), 여기서 (1.9) 는 호환되지 않는 항목에 대해 0 값을 강제한다.
• 호환성 행렬을 사용하여 DHC 문제를 $ \mathbb{R}^{n^4} $ 내의 볼록 다면체에 통합하며, 이 다면체의 꼭짓점은 해밀턴 순환에 대응한다.
• 기존의 다항 시간 선형 프로그래밍 알고리즘(예: 카치yan의 타원체 또는 카르마르카르의 내부점 방법)을 적용하여 체계를 해소한다.
• 선형 제약 조건 (1.8) 및 (1.9)로 정의된 타당 영역 위에서 가중치 합 $ \sum w_{ij} x_{ij\mu\nu} $ 를 최소화함으로써 이 방법을 ATSP로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 얀나카키스의 대칭 형식에 대한 결과에도 불구하고, 비대칭 다항 크기 선형 프로그래밍으로 ATSP 다면체를 표현할 수 있는가?
• RQ2 방향성 해밀턴 순환(DHC) 문제는 선형 프로그래밍 형식으로 다항 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ3 호환성 행렬 인코딩이 모든 유효한 정점 재라벨링을 포괄하여 해밀턴 순환이 정확히 타당한 해에 대응할 수 있는가?
• RQ4 결과로 도출된 선형 시스템이 임의의 실수 가중치를 가진 ATSP에 대해서도 다항 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ5 이 방법은 고리가 있는 (다중)방향 그래프에서 부분그래프 동형 문제로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 크기가 $ O(n^4) $ 인 선형 프로그래밍 문제를 구성하여 비대칭 형식을 사용해 ATSP 다면체를 표현한다.
• 선형 시스템 (1.8) 및 (1.9)의 타당 영역은 모든 해밀턴 순환 인cidience 벡터의 볼록 hull 과 정확히 일치한다.
• 식 (1.8) 및 (1.9)로 정의된 다면체의 꼭짓점 수를 $ n $ 으로 나눈 값은 방향 그래프 내의 서로 다른 해밀턴 순환의 수와 같다.
• 0-1 계수의 구조 덕분에 기존의 알려진 LP 알고리즘을 사용해 강력한 다항 시간 내에 시스템를 해소할 수 있다.
• 가중치가 부여된 방향 그래프 내 해밀턴 순환의 최소 총 가중치는 선형 프로그래밍 (2.1)의 최적 해와 일치한다.
• 이 방법은 호환성 제약 조건을 약간 수정함으로써 고리가 있는 (다중)방향 그래프에서 부분그래프 동형 문제로 일반화될 수 있다.