[논문 리뷰] A polynomial-time construction of a hitting set for read-once branching programs of width 3

Jiřı́ Šı́ma, Stanislav Žák|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 04.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 넓이 3인 읽기-한 번만 가능한 분기 프로그램을 위한 최초의 명시적 다항 시간 구성 hitting set을 제시하며, 수용 확률이 5/6를 초과한다. 이는 이러한 프로그램을 위한 hitting set를 특성화하는 '풍부성 조건'을 도입하며, 이 조건을 만족하는 거의 O(log n)-순서 독립 집합—알론 등(1992)의 방법으로 구성된 것—이 항상 유효한 hitting set를 제공함을 증명한다.

ABSTRACT

Recently, an interest in constructing pseudorandom or hitting set generators for restricted branching programs has increased, which is motivated by the fundamental issue of derandomizing space-bounded computations. Such constructions have been known only in the case of width 2 and in very restricted cases of bounded width. In this paper, we characterize the hitting sets for read-once branching programs of width 3 by a so-called richness condition. Namely, we show that such sets hit the class of read-once conjunctions of DNF and CNF (i.e. the weak richness). Moreover, we prove that any rich set extended with all strings within Hamming distance of 3 is a hitting set for read-once branching programs of width 3. Then, we show that any almost $O(\log n)$-wise independent set satisfies the richness condition. By using such a set due to Alon et al. (1992) our result provides an explicit polynomial-time construction of a hitting set for read-once branching programs of width 3 with acceptance probability $\varepsilon>5/6$. We announced this result at conferences more than ten years ago, including only proof sketches, which motivated a number of subsequent results on pseudorandom generators for restricted read-once branching programs. This paper contains our original detailed proof that has not been published yet.

연구 동기 및 목표

• 넓이 3인 읽기-한 번만 가능한 분기 프로그램을 위한 명시적이고 다항 시간인 hitting set를 구성하는 것.
• 넓이 2를 초월하는 공간 제한 계산의 비결정적화 문제를 오랫동안 해결하는 데 도전하는 것.
• 이전 기법이 실패하는 유한 넓이 모델로까지 확장된 의사난수 생성기 및 hitting set에 대한 기존 결과를 확장하는 것.
• 분기 프로그램의 구조에 독립적인 hitting set를 특성화하는 조합적 풍부성 조건을 체계화하는 것.
• 거의 O(log n)-순서 독립 집합이 이 풍부성 조건을 만족하고, 따라서 유효한 hitting set를 제공함을 보여주는 것.

제안 방법

• 읽기-한 번만 가능한 DNF와 CNF 공식의 논리곱에 대해 hitting set를 특성화하는 '약한 풍부성 조건'을 도입하는 것.
• 풍부성 조건을 만족하는 임의의 집합이 히프만 거리 3 이내의 모든 문자열과 함께 확장될 경우, 넓이 3의 1-분기 프로그램에 대해 hitting set가 된다는 것을 증명하는 것.
• 알론 등(1992)의 방법으로 구성된 거의 (C log n)-순서 독립 집합이 적절한 상수 C에 대해 풍부성 조건을 만족함을 보이는 것.
• 확률적 방법과 타일러 급수 근사(쌍곡 sine 부등식을 통한 근사)를 사용해 풍부한 집합의 존재 확률에 대한 양의 하한을 확보하는 것.
• 이러한 거의 k-순서 독립 집합이 다항 시간 내에 구성 가능하므로 전체 구성이 효율적임을 활용하는 것.
• 집합의 풍부성 조건 분석에서 오차 항을 제어하기 위해 농도 경계와 다항식 전개를 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 읽기-한 번만 가능한 넓이 3 분기 프로그램에 대해 다항 시간으로 구성 가능한 hitting set를 설계할 수 있는가?
• RQ2 구조에 독립적인 넓이 3의 1-분기 프로그램에 대해 hitting set를 특성화하는 조합적 조건은 무엇인가?
• RQ3 거의 O(log n)-순서 독립 집합이 이 조건을 만족하고, 따라서 유효한 hitting set를 제공하는가?
• RQ4 풍부성 조건을 통해 유한 넓이 모델에서 의사난수 생성기와 hitting set 사이의 격차를 메울 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 넓이 4 또는 일반적인 유한 넓이로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 읽기-한 번만 가능한 넓이 3 분기 프로그램에 대해 다항 시간으로 구성 가능한 hitting set를 확보하였으며, 수용 확률 ε > 5/6이다.
• 풍부성 조건—읽기-한 번만 가능한 DNF와 CNF의 논리곱을 통한 히팅을 특성화하는 조건—은 넓이 3의 1-분기 프로그램에 대해 유효한 hitting set를 특성화한다.
• 풍부성 조건을 만족하는 임의의 집합이 히프만 거리 3 이내의 모든 문자열과 함께 확장될 경우, 넓이 3의 1-분기 프로그램에 대해 hitting set가 된다.
• 알론 등(1992)의 방법으로 구성된 거의 O(log n)-순서 독립 집합은 풍부성 조건을 만족하며, 따라서 명시적 hitting set를 제공한다.
• 분석을 통해 이러한 집합의 존재 확률에 대한 양의 하한이 증명되어, 그 구성이 공집합이 아님을 보장한다.
• 이 결과는 BPL의 비결정적화 및 유한 넓이 모델에 대한 의사난수 생성기 향상에 있어 중요한 발전을 나타낸다.