[논문 리뷰] A Priori Lipschitz Estimates for Solutions of Local and Nonlocal Hamilton-Jacobi Equations with Ornstein-Uhlenbeck Operator

Emmanuel Chasseigne, Olivier Ley외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$에서 오르nst-우렌베르크 드리프트를 가진 국소 및 비국소 해밀턴-자코비 방정식의 유계가 아닌 점성해에 대해 사전 Lipschitz 추정을 수립한다. 이는 이전 결과를 일반화하여 하모닉 함수가 아닌 하모닉 함수, 비대칭 확산 행렬, 그리고 분수 라플라스 방식의 비국소 적분미분 연산자를 允허하며, 데이터의 적절한 성장 조건 하에서 해가 $|u(x,t)-u(y,t)| \leq C(\phi_\mu(x)+\phi_\mu(y))|x-y|$ 를 만족함을 증명한다. 여기서 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$이다.

ABSTRACT

We establish a priori Lipschitz estimates for unbounded solutions of second-order Hamilton-Jacobi equations in R^N in presence of an Ornstein-Uhlenbeck drift. We generalize the results obtained by Fujita, Ishii \\& Loreti (2006) in several directions. The first one is to consider more general operators. We first replace the Laplacian by a general diffusion matrix and then consider a nonlocal integro-differential operator of fractional Laplacian type. The second kind of extension is to deal with more general Hamiltonians which are merely sublinear. These results are obtained for both degenerate and nondegenerate equations.

연구 동기 및 목표

• 유계 해와 Lipschitz 해밀턴 함수를 초월하여 $\mathbb{R}^N$에서 해밀턴-자코비 방정식에 대한 사전 Lipschitz 추정을 확장하기 위해.
• 일반적인 확산 행렬(비대칭)과 분수 라플라스 유형의 비국소 적분미분 연산자를 통합하기 위해.
• 하모닉 함수 $H$가 $|H(x,p)| \leq C_H(1+|p|)$ 를 만족함을 허용하여 최적 제어 및 미분 게임 응용을 가능하게 하기 위해.
• 에르고딕성 및 장기적 행동 분석을 위해 $\lambda > 0$ 및 $t > 0$ 에 대해 독립적인 균일 추정을 확립하기 위해.
• 데이터 및 해에 대해 최적의 성장률 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ 를 특성화하여 이전의 $e^{\mu|x|^2}$ 추정보다 개선하기 위해.

제안 방법

• 오르nst-우렌베르크 드리프트가 $\langle b(x)-b(y),x-y\rangle \geq \alpha|x-y|^2$ 를 만족하는 $\mathbb{R}^N$에서의 무한해에 대한 점성해이론의 사용.
• 변수의 배제 기법을 수정된 시험 함수 $\varphi(x,y) = \phi(x) + \psi(|x-y|)$ 와 함께 적용하며, 여기서 $\psi$ 는 $C^2$ 커파 함수이다.
• 비국소 연산자 $\mathcal{I}(x,u,D_x\varphi) - \mathcal{I}(y,u,-D_y\varphi)$ 의 추정을 콘 분해 $\mathcal{C}_{\eta,\gamma}(a)$ 와 커널 $l(a,s,z)$ 의 정밀한 제어를 통해 수행한다.
• 레비 측도 조건, 즉 $\int_B |z|^2 \nu(dz) < \infty$ 와 $\int_{B^c} \phi_\mu(z) \nu(dz) < \infty$ 를 사용하여 비국소 항의 성장 제어를 수행하여 $\mathcal{E}_\mu$ 내에서 정의가 가능함을 보장한다.
• 레비 측도 $\nu$ 의 구조(예: 온화한 $\beta$-스테이블 법칙) 를 이용하여 음의 정부호 항 $-\Lambda |a|^{-\tilde{\theta}}$ 를 통해 비국소 차이의 하한을 도출한다.
• 국소 및 비국소 추정을 조합하여 최종 Lipschitz 추정을 유도하며, 이때 상수들은 $\lambda$ 와 $t$ 에 대해 독립적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오르nst-우렌베르크 드리프트와 하모닉 함수가 아닌 해밀턴 함수를 가진 해밀턴-자코비 방정식의 무한해에 대해 사전 Lipschitz 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 비국소 또는 비대칭 확산이 존재할 경우 해밀턴-자코비 방정식의 해의 Lipschitz 정규성 보장을 위해 데이터 및 해에 대해 최적의 성장 조건 $\phi_\mu(x)$ 는 무엇인가?
• RQ3 비국소 방정식에서 레비 측도 $\nu$ 의 구조, 특히 온화한 $\beta$-스테이블 법칙에서 추정은 어떻게 의존하는가?
• RQ4 라플라스 연산자에서 일반적인 확산 행렬 $A(x) = \sigma(x)\sigma^T(x)$ 로의 확장을 $\sigma \in W^{1,\infty}$ 조건 하에서 수행할 수 있는가?
• RQ5 특히 $H$ 가 $x$ 에 따라 또는 연산자가 비국소일 경우, 추정에 대해 성장률 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ 가 최적인가?

주요 결과

• 논문은 오르nst-우렌베르크 드리프트를 가진 국소 및 비국소 해밀턴-자코비 방정식의 해에 대해 $|u(x,t) - u(y,t)| \leq C(\phi_\mu(x) + \phi_\mu(y))|x-y|$ 형식의 사전 Lipschitz 추정을 수립한다.
• 성장 함수 $\phi_\mu(x) = e^{\mu\sqrt{1+|x|^2}}$ 가 추정에 충분함을 입증하였으며, Fujita 등(2006)의 고전적 $e^{\mu|x|^2}$ 추정보다 개선된 결과이다.
• 하모닉 함수 $H$ 가 $|H(x,p)| \leq C_H(1+|p|)$ 를 만족함을 허용하며, $x$ 또는 $p$ 에 대해 Lipschitz 연속성이 필요하지 않다.
• 비국소 경우에서 레비 측도 $\nu$ 는 $\int_B |z|^2 \nu(dz) < \infty$ 와 $\int_{B^c} \phi_\mu(z) \nu(dz) < \infty$ 를 만족해야 하며, 이는 $\beta \in (0,2)$ 인 온화한 $\beta$-스테이블 법칙에서 성립한다.
• 추정의 상수들은 $\lambda > 0$ 및 $t > 0$ 에 대해 독립적이며, 에르고딕 문제 및 장기적 행동 응용에 유용하다.
• 비국소 차이 $\mathcal{I}(x,u,D_x\varphi) - \mathcal{I}(y,u,-D_y\varphi)$ 는 음의 정부호 항 $-\Lambda |a|^{-\tilde{\theta}}$ 에 의해 하한이 보장되며, 이는 최종 추정에 핵심적이다.