[논문 리뷰] A proof of hyperbolic van der Waerden conjecture : the right generalization is the ultimate simplification

Leonid Gurvits|ArXiv.org|2005. 04. 19.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 20인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 실수부 조건 하에서 $n$-동차 $P$-초구면 다항식의 혼합 도함수에 대한 날카운 하한을 확립하여 초구면 바르더 바르데르 반데르 바우젠 추측을 증명한다. 이는 바르더 바르데르 반데르 바우젠 추측과 반데르 바우젠 추측을 일반화한다. 증명은 초구면 다항식의 기본 성질을 사용하며, 새로운 영구 및 판별식 부등식을 단순화되고 통합된 방식으로 유도한다.

ABSTRACT

Consider a homogeneous polynomial $p(z_1,...,z_n)$ of degree $n$ in $n$ complex variables . Assume that this polynomial satisfies the property : \\ $|p(z_1,...,z_n)| \geq \prod_{1 \leq i \leq n} Re(z_i)$ on the domain $\{(z_1,...,z_n) : Re(z_i) \geq 0, 1 \leq i \leq n \}$ . \\ We prove that $|\frac{\partial^n}{\partial z_1...\partial z_n} p | \geq \frac{n!}{n^n}$ . Our proof is relatively short and self-contained (i.e. we only use basic properties of hyperbolic polynomials). As the van der Waerden conjecture for permanents, proved by D.I. Falikman and G.P. Egorychev, as well Bapat's conjecture for mixed discriminants, proved by the author, are particular cases of this result. We also prove so called "small rank" lower bound (in the permanents context it corresponds to sparse doubly-stochastic matrices, i.e. with small number of non-zero entries in each column). The later lower bound generalizes (with simpler proofs) recent lower bounds by A.Schrijver for the number of perfect matchings of $k$-regular bipartite graphs. We present some important algorithmic applications of the result, including a polynomial time deterministic algorithm approximating the permanent of $n imes n$ nonnegative entry-wise matrices within multiplicative factor $\frac{e^n}{n^m}$ for any fixed positive $m$ .

연구 동기 및 목표

• 실수부 조건 하에서 $n$-동차 $P$-초구면 다항식의 $n$-번째 혼합 도함수에 대한 날카운 하한을 증명하기 위해.
• 영구에 대한 바르더 바르데르 반데르 바우젠 추측과 혼합 판별식에 대한 반데르 바우젠 추측의 증명을 통합하고 단순화하기 위해.
• 희소 이중 확률 행렬과 저랭크 혼합 판별식에 대한 '낮은 랭크' 하한을 확립하기 위해.
• 개선된 곱셈 오차를 가진 혼합 도함수를 근사하기 위한 결정적 다항시간 오라클 알고리즘을 개발하기 위해.
• 초구면 다항식의 프레임워크를 조합 및 최적화 분야의 알고리즘 적용으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 비음수 정사분면을 포함하는 $e$-비음수 콘의 $(1,\dots,1)$-초구면인 동차 다항식으로서의 $P$-초구면 다항식을 도입한다.
• 혼합 도함수 $M_p(x_1,\dots,x_n)$를 $p(\sum \alpha_i x_i)$의 $n$-번째 혼합 편도함수로 정의하며, 이는 폴라라이제이션 공식과 동치이다.
• 혼합 도함수를 아래로부터 유계화하기 위해 capacity $Cap(\mathbf{X}) = \inf_{\alpha_i > 0, \prod \alpha_i = 1} P_{\mathbf{X}}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$를 사용한다.
• 초구면 다항식의 성질과 귀납법을 적용하여 주요 부등식 $|\partial^n p / \partial z_1 \cdots \partial z_n| \geq n! / n^n$ 을 실수부 조건 하에서 유도한다.
• 랭크에 따라 $((k-1)/k)^{(k-1)(n-k)}$를 포함하는 랭크 의존 하한을 통해 저랭크 경우로 결과를 일반화한다.
• capacity 프레임워크를 내부점법 기반 기계장치와 결합하여 혼합 도함수를 근사하는 결정적 다항시간 오라클 알고리즘을 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초구면 다항식의 자연스러운 일반화를 통해 초구면 바르더 바르데르 반데르 바우젠 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ2 혼합 도함수에 대한 capacity 기반 하한이 희소 또는 저랭크 설정으로 확장되는가?
• RQ3 개선된 곱셈 오차를 가진 $P$-초구면 다항식의 혼합 도함수를 근사하는 결정적 다항시간 오라클 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ4 $P$-초구면 다항식의 capacity가 혼합 도함수와 관련되어 있으며, 이를 통해 날카운 근사를 가능하게 하는가?
• RQ5 이 방법을 볼륨 다항식의 볼록체에까지 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 실수부 조건 $|p(z)| \geq \prod \text{Re}(z_i)$ 를 만족하는 $n$-동차 $P$-초구면 다항식에 대해 부등식 $|\partial^n p / \partial z_1 \cdots \partial z_n| \geq n! / n^n$ 이 확립된다.
• 영구에 대한 바르더 바르데르 반데르 바우젠 추측과 혼합 판별식에 대한 반데르 바우젠 추측은 이 결과의 특수한 경우로 나타난다.
• 새로운 '낮은 랭크' 하한이 도출된다: $\text{Rank}(A_i) \leq k$ 이면 $M(A_1,\dots,A_n) \geq \left(\frac{k-1}{k}\right)^{(k-1)(n-k)} \frac{k!}{k^k}$ 이다.
• 행당 최대 $k$개의 비영원소를 갖는 이중 확률 행렬에 대해 영구 부등식 $\text{Per}(A) \geq \left(\frac{k-1}{k}\right)^{(k-1)(n-k)} \frac{k!}{k^k}$ 이 성립한다.
• 결정적 다항시간 오라클 알고리즘을 구성하여 $n$-번째 혼합 도함수를 $e^n$ 이내의 요소로 근사할 수 있으며, 고정된 $m$에 대해 $e^n / n^m$ 으로 개선 가능하다.
• 이 방법은 이전 결과들을 단순화하고 일반화하며, 특히 $k$-정규 이분 그래프에 대한 슈리지버의 결과를 더 깔끔하고 직접적인 증명으로 개선한다.