[论文解读] A Quantum Approximate Optimization Algorithm for continuous problems

Guillaume Verdon, Juan Miguel Arrazola+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 13

一句话总结

本文提出了一种连续变量量子近似优化算法（CV-QAOA），将连续优化问题表述为由目标函数定义的势阱中的量子动力学。通过在代价哈密顿量和混杂哈密顿量下交替进行时间演化，该算法在叠加态中执行梯度下降，实现了对连续变量的相干优化，具有潜在的量子加速优势，并可通过梯度启发式方法高效调节经典参数。

ABSTRACT

We introduce a quantum approximate optimization algorithm (QAOA) for continuous optimization. The algorithm is based on the dynamics of a quantum system moving in an energy potential which encodes the objective function. By approximating the dynamics at finite time steps, the algorithm can be expressed as alternating evolution under two non-commuting Hamiltonians. We show that each step of the algorithm updates the wavefunction in the direction of its local gradient, with an additional momentum-dependent displacement. For initial states in a superposition over many points, this method can therefore be interpreted as a coherent version of gradient descent, i.e., 'gradient descent in superposition.' This approach can be used for both constrained and unconstrained optimization. In terms of computational complexity, we show how variants of the algorithm can recover continuous-variable Grover search, and how a single iteration can replicate continuous-variable instantaneous quantum polynomial circuits. We also discuss how the algorithm can be adapted to solve discrete optimization problems. Finally, we test the algorithm through numerical simulation in optimizing the Styblinski-Tang function.

研究动机与目标

• 解决连续优化领域缺乏量子算法的问题，此类问题在金融、机器学习和工程中普遍存在。
• 将原本专为离散问题设计的QAOA框架扩展至连续变量系统。
• 使量子算法能够利用量子动力学求解实数域上的连续域优化问题。
• 证明该算法可模拟经典梯度下降启发式方法，同时保持量子相干性。
• 展示该算法可被调整以处理约束优化和离散优化问题。

提出的方法

• 将目标函数编码为代价哈密顿量 $ \hat{H}_C = f(\bm{x}) $，其中 $ f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R} $。
• 使用混杂哈密顿量 $ \hat{H}_M $，其诱导动量依赖的演化，从而与代价哈密顿量产生非对易动力学。
• 通过交替应用单位变换 $ e^{-i\gamma_j \hat{H}_C} $ 和 $ e^{-i\tau_j \hat{H}_M} $ 实现时间演化，其中 $ \gamma_j, \tau_j $ 为变分参数。
• 将每一步演化解释为沿局部梯度方向的相干更新，伴随动量依赖的位移。
• 将系统初始化为叠加态（例如动量压缩真空态），以实现对多个初始点的并行探索。
• 通过连续变量量子计算或数字量子比特模拟实现该算法，使用自定义四次门 $ e^{i\hat{x}^4} $ 处理由非线性势能引起的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 QAOA框架能否被推广至超越离散变量的连续优化问题？
• RQ2 粒子在势场中的量子动力学与经典梯度下降方法之间有何关系？
• RQ3 该算法在连续变量设置下能否实现与Grover搜索相当的量子加速？
• RQ4 经典优化启发式方法（如学习率调度）在多大程度上可嵌入到量子线路的变分参数中？
• RQ5 该算法能否在相同框架下被调整以求解约束或离散优化问题？

主要发现

• 该算法在叠加态中执行梯度下降，每一步均沿局部梯度方向更新波函数，且位移依赖于动量。
• 对于二维Styblinski-Tang函数，算法达到的最优采样函数值为 $ f(x^*, y^*) = -78.33216 $，非常接近全局最小值 $ -78.3323 $。
• 在1000次采样中，有22个点的函数值低于 $ -78 $，表明通过适度采样即可获得接近全局最小值的良好近似。
• 在 $ T = 0.1 $ 条件下经过三步演化后，输出概率分布集中于四个局部极小值附近，且众数接近全局最小值。
• 在标准复杂性假设下，该算法的输出分布无法被经典方法高效模拟，表明存在潜在的量子优势。
• 该算法可恢复连续变量Grover搜索，并在单步内复现瞬时量子多项式电路。