[论文解读] A quantum Leray-Hirsch theorem for banded gerbes

Xiang Tang, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 10

一句话总结

本文为光滑完备的Deligne-Mumford堆栈上的带结构G-gerbe建立了量子Leray-Hirsch定理，将gerbe Y 的Gromov-Witten不变量用基底B的扭曲Gromov-Witten不变量表示，权重为结构群G的表示。关键结果是一个分解公式，将Y的量子上同调表示为G的不可约表示之和，推广并统一了此前关于gerbe对偶性和轨道Gromov-Witten理论的结果。

ABSTRACT

For a gerbe $\Y$ over a smooth proper Deligne-Mumford stack $\B$ banded by a finite group $G$, we prove a structure result on the Gromov-Witten theory of $\Y$, expressing Gromov-Witten invariants of $\Y$ in terms of Gromov-Witten invariants of $\B$ twisted by various flat $U(1)$-gerbes on $\B$. This is interpreted as a Leray-Hirsch type of result for Gromov-Witten theory of gerbes.

研究动机与目标

• 为光滑完备的Deligne-Mumford堆栈上的带结构G-gerbe的Gromov-Witten理论建立一个量子Leray-Hirsch型公式。
• 解决[29, Conjecture 1.8]中提出的gerbe对偶性在Gromov-Witten理论中的分解猜想。
• 推广并统一此前关于gerbe和轨道的扭曲Gromov-Witten不变量的研究结果。
• 以基底不变量和表示论数据为基准，提供带结构G-gerbe的Gromov-Witten不变量的完整结构定理。

提出的方法

• 作者在gerbe Y 的Chen-Ruan上同调与基底B的扭曲上同调之间构造了一个加法同构 I: H•(IY) → ⊕ρ∈Ĝ H•(IB, Lcρ)。
• 他们利用holonomy线丛Lcρ和其在稳定映射模空间上的拉回的典范平凡化θ，定义了B上的cρ-扭曲Gromov-Witten不变量。
• 主要公式将Y上的不变量表示为G的不可约表示ρ的和，权重为 (dim Vρ / |G|)^{2−2g}，并结合B上的扭曲不变量。
• 证明依赖于投影Y → B下虚拟基本类的虚拟上推性质。
• 作者利用扭曲群代数的特征理论以及c-正则共轭类的结构，计算了BG的扭曲不变量。
• 通过在亏格和标记点数上归纳，利用Λg,n^{BG,c}泛函的性质，验证了与已知结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用基底B上的不变量来表达带结构G-gerbe Y 的Gromov-Witten不变量？
• RQ2 gerbe对偶性在Gromov-Witten理论中的分解猜想是否在带结构gerbe中普遍成立？
• RQ3 G的不可约表示在构建gerbe的量子上同调结构中起什么作用？
• RQ4 与U(1)-gerbe cρ相关的B上的扭曲Gromov-Witten不变量如何控制Y的不变量？
• RQ5 能否通过表示论权重将gerbe的量子几何完全还原为基底上的数据？

主要发现

• 带结构G-gerbe Y 的Gromov-Witten不变量完全由基底B上的扭曲不变量决定，公式为 ⟨∏δjψj^{aj}⟩_Y = ∑ρ∈Ĝ (dim Vρ / |G|)^{2−2g} ⟨∏I(δj)ρ ψj^{aj}⟩_{B,cρ}。
• 该公式证实了[29, Conjecture 1.8]中的分解猜想，并扩展了此前关于特定类gerbe对偶性的结果。
• 不变量的结构由G的表示理论决定，权重 (dim Vρ / |G|)^{2−2g} 编码了亏格g曲线的量子修正。
• 当亏格为0且有三个标记点时，BG上具有扭量c的不变量通过Chen-Ruan上杯积同构于c-扭曲群代数的中心，即 Z(C*(G,c))。
• BG的扭曲Gromov-Witten不变量已被完全计算：除非所有插入项均来自同一不可约扭曲表示ρ，否则不变量为零；此时其值为 νρ^{1−g} 乘以ψ-类的积分。
• 泛函Λg,n^{BG,c} 满足遗忘尾部、切环和切边的公理，与上同调场论的公理体系一致。