[논문 리뷰] A Quaternion-based Certifiably Optimal Solution to the Wahba Problem with Outliers

Heng Yang, Luca Carlone|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 29.

Robotics and Sensor-Based Localization참고 문헌 45인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단위 허수를 사용한 준선형계획법(정규화된)을 통해 이상치가 포함된 경우에도 전역 최적성과 증명 가능한 해를 보장하는 다항시간 해법인 QUASAR를 제안한다. 허수 기반의 준선형계획법을 이용해 잔차가 큰 측정치에 대해 일정한 비용을 할당하는 절단된 최소제곱(cost)을 재구성함으로써, 이상치에 대해 강인한 해를 확보한다. QUASAR는 최대 95%의 이상치가 존재하는 상황에서도 전역 최적성과 증명 가능한 해를 달성하며, RANSAC, 국소 해법, 분기소거법보다 정확도와 강인성 면에서 뛰어나다.

ABSTRACT

The Wahba problem, also known as rotation search, seeks to find the best rotation to align two sets of vector observations given putative correspondences, and is a fundamental routine in many computer vision and robotics applications. This work proposes the first polynomial-time certifiably optimal approach for solving the Wahba problem when a large number of vector observations are outliers. Our first contribution is to formulate the Wahba problem using a Truncated Least Squares (TLS) cost that is insensitive to a large fraction of spurious correspondences. The second contribution is to rewrite the problem using unit quaternions and show that the TLS cost can be framed as a Quadratically-Constrained Quadratic Program (QCQP). Since the resulting optimization is still highly non-convex and hard to solve globally, our third contribution is to develop a convex Semidefinite Programming (SDP) relaxation. We show that while a naive relaxation performs poorly in general, our relaxation is tight even in the presence of large noise and outliers. We validate the proposed algorithm, named QUASAR (QUAternion-based Semidefinite relAxation for Robust alignment), in both synthetic and real datasets showing that the algorithm outperforms RANSAC, robust local optimization techniques, global outlier-removal procedures, and Branch-and-Bound methods. QUASAR is able to compute certifiably optimal solutions (i.e. the relaxation is exact) even in the case when 95% of the correspondences are outliers.

연구 동기 및 목표

• 표준 최소제곱법이 실패하는 극단적인 이상치 조건(예: 95% 이상치)에서 Wahba 문제를 해결하는 데 도전한다.
• 분기소거법의 지수적 복잡도를 피하기 위해 다항시간 내에 전역 최적성과 증명 가능한 해를 확보하는 해법을 개발한다.
• 표준 최소제곱법을 절단된 최소제곱(TLS) 비용 함수로 대체함으로써 고노이즈와 높은 이상치 비율에 대한 강인성을 향상시킨다.
• 허수 기반 최적화 문제에 대해 강력한 준선형계획법(SDP) 근사를 구성함으로써 증명 가능한 최적성 가능성을 확보한다.
• 극한 조건 하에서 RANSAC, 강인 국소 최적화, 전역 이상치 제거 기법 등 기존 방법들보다 정확도와 신뢰성 면에서 뛰어난 성능을 발휘한다.

제안 방법

• 잔차가 큰 측정치에 대해 일정한 비용을 할당하는 절단된 최소제곱(TLS) 비용 함수를 사용하여 이상치에 강인한 로버스트 Wahba 문제를 수립한다.
• 회전을 표현하기 위해 단위 허수를 사용하여 더 자연스럽고 수치적으로 안정적인 최적화 프레임워크를 제공한다.
• 이상치/내측자료 결정을 모델링하기 위해 이진 변수를 도입하여 TLS 비용을 혼합정수 2차계획법(MQCQP)으로 변환한다.
• 문제를 고차원 공간으로 올리고 질량 제약 조건을 완화함으로써 허수 기반의 2차계획법(QCQP)에 대해 볼록 준선형계획법(SDP) 근사를 유도한다.
• 원래 문제와 동치성을 유지하면서 수렴성과 최적성 증명을 향상시키는 부가적인 유효한 제약 조건을 추가하여 근사의 타이트함을 향상시킨다.
• 이중성 갭을 사용해 전역 최적성을 증명한다: 이중성 갭이 0이면 근사가 정확하고 해가 증명 가능한 최적임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 95% 이상치가 존재하는 상황에서도 다항시간 내에 증명 가능한 최적 해를 계산할 수 있는가?
• RQ2 고노이즈와 극단적인 이상치 비율 조건에서도 허수 기반의 SDP 근사는 난이도가 높은 기존 접근법보다 더 타이트한 근사인가?
• RQ3 제안된 방법은 높은 이상치 비율 조건 하에서 RANSAC 및 기타 최첨단 강인 해법보다 정확도와 강인성 면에서 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 큰 노이즈와 이상치 존재 조건 하에서도 이중성 갭은 전역 최적성의 신뢰할 수 있는 증명 도구인가?
• RQ5 국소 최적화 기법이 요구하는 초기 추정치 없이도 전역 최적성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 테스트 케이스에서 이중성 갭이 0임을 확인함으로써, QUASAR는 최대 95%의 이상치가 존재하는 상황에서도 증명 가능한 최적 해를 달성한다.
• 저노이즈 조건에서 96% 이상치가 존재하는 시뮬레이션 실험에서 QUASAR는 최적 해를 성공적으로 계산했고, GORE, BnB-L2, BnB-Ang는 모두 실패했다.
• 내측자료에 고노이즈(σ = 0.1)가 존재하는 조건에서 QUASAR는 최대 80% 이상치 비율까지 강인성을 유지하며, 모든 경쟁 방법보다 낮은 회전 추정 오차를 기록했다.
• PASSTA 런치룸 데이터셋에서 QUASAR는 12개의 이미지 쌍을 모두 성공적으로 스티칭했으며, 특히 SURF 이상치 비율이 66%에 달하는 가장 도전적인 쌍(7,13)에서도 RANSAC 기반 스티칭이 실패한 상황에서 성공했다.
• 12개의 이미지 스티칭 작업 평균 상대 이중성 갭은 1.40e-09로, 거의 0에 가까운 최적성 갭을 나타내며 해의 강력한 증명 가능성(증명 가능한 최적성)을 확인한다.
• 해의 행렬의 안정적 질량은 거의 1(1 + 8.33e-17)이었으며, 이는 해 행렬이 질량 1임을 확인하고 근사의 정확성을 검증한다.