[논문 리뷰] A QUATERNIONIC FRACTIONAL BOREL–POMPEIU-TYPE FORMULA

José Óscar González-Cervantes, Juan Bory Reyes|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 20.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 벡터 매개변수를 가진 리만-리오빌 분수도 도함수로부터 유도된 새로운 분수 ψ−푸에터 연산자에 기반한 분수 허미티안 보렐-포멘피우 공식을 제안한다. 고전적 ψ−초해석학 이론을 분수 설정으로 일반화함으로써, 분수 ψ−라플라스 연산자를 인수분해하는 스튜어트 유사 적분 공식을 수립하고, 분수 ψ−초해석학 클래스에 속하는 함수에 대한 완전한 적분 표현을 제공한다.

ABSTRACT

In theoretical setting, associated with a fractional ψ-Fueter operator that depends on an additional vector of complex parameters with fractional real parts, this paper establishes a fractional analog of Borel–Pompeiu formula as a first step to develop a fractional ψ-hyperholomorphic function theory and the related operator calculus.

연구 동기 및 목표

• 리만-리오빌 분수 도함수를 사용하여 ψ−초해석학 함수 이론을 분수 미적분학 영역으로 확장하는 것.
• 실수 부분이 분수인 복소수 매개변수 벡터에 의존하는 새로운 분수 ψ−푸에터 연산자를 정의하는 것.
• 쿼aternion 해석학에서 고전적 보렐-포멘피우 공식의 분수 동반체를 수립하는 것.
• 제안된 분수 ψ−푸에터 연산자가 분수 ψ−라플라스 연산자를 인수분해함을 보여주는 것.
• 쿼aternion 해석학 내에서 체계적인 분수 연산자 미적분학의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 복소수 벡터 ⃗α ∈ C⁴에서의 리만-리오빌 분수 도함수를 통해 분수 ψ−푸에터 연산자를 도입하며, ℜαℓ ∈ (n−1, n) 이고 ℓ=0,1,2,3이다.
• 반복된 분수 적분을 사용하여 고전적 커널을 일반화한 분수 캐시의 커널 K⃗αψ,a(yn−x)를 정의한다.
• 분수 ψ−푸에터 연산자를 사용하여 중첩된 직사각형 J₁ ⊃ J₂ ⊃ ... ⊃ Jₙ에 대한 다변수 반복 적분 공식을 구성한다.
• 일반화된 스토크스 정리를 적용하여 경계 및 체적 적분을 포함하는 분수 보렐-포멘피우 유사 항등식을 유도한다.
• 반복된 분수 적분 연산자 ψIyna[f](q, yn, ⃗α)를 사용하여 분수 ψ−푸에터 방정식의 해를 표현한다.
• 기본적인 분수 미적분학 정리와 연쇄적 미분의 차수에 대한 귀납법을 활용하여 주 공식을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼aternion 해석학에서 고전적 보렐-포멘피우 공식은 어떻게 분수 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 리만-리오빌 도함수와 복소수 벡터 매개변수를 사용하여 정의된 분수 ψ−푸에터 연산자의 구조는 어떠한가?
• RQ3 분수 ψ−푸에터 연산자는 분수 ψ−라플라스 연산자와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 분수 ψ−초해석학 클래스에 속하는 함수에 대해 다변수 적분 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ5 분수 ψ−푸에터 방정식의 해를 특징짓는 경계 및 체적 적분 항등식은 무엇인가?

주요 결과

• 실수 부분이 분수인 복소수 매개변수 벡터에 의존하는 리만-리오빌 분수 적분과 ψ−푸에터 연산자의 복합체로서 새로운 분수 ψ−푸에터 연산자가 정의된다.
• 분수 ψ−푸에터 연산자가 분수 ψ−라플라스 연산자를 인수분해함으로써 이론의 핵심적인 구조적 성질가 확립된다.
• 분수 보렐-포멘피우 유사 공식이 Jₙ ⊂ Jₙ₋₁ ⊂ ... ⊂ J₁인 중첩된 직사각형에 대해 유도되었으며, AC¹(Jₙ, H)에 속하고 정규성 조건을 만족하는 함수에 대해 유효하다.
• 주 공식은 분수 캐시 커널 K⃗αψ,a를 포함하는 경계 적분과 고차수 분수 도함수의 체적 적분의 조합으로 f(x)를 표현한다.
• 보조정리들은 분수 ψ−푸에터 연산자가 0이 되는 경우 공식이 도메인의 모서리에서의 함수 값의 합과 보정 항 N[f](q,x,⃗α)로 줄어든다는 것을 보여준다.
• x = q ∈ Jₙ일 경우 공식은 4f(q) + N[f](q,q,⃗α)를 제공하여 분수 매개변수에 의존하는 잔여항을 포함하는 점 평가 항등식을 얻는다.