[논문 리뷰] A Rate-Distortion Perspective on Quantum State Redistribution

Zahra Baghali Khanian, Andreas Winter|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 출력 상태에 대한 덧셈성 왜곡 측정을 사용하여 고전적 Wyner-Ziv 소스 코딩을 양자 시스템으로 일반화하는 양자 비율-왜곡 프레임워크를 제안한다. 얽힘을 보조로 사용하는 비율-왜곡 함수의 단일 문자형 공식을 유도하였지만, 보조 레지스터에 대한 무한대 최적화가 필요하고, 영 왜곡에서 연속성 문제가 발생하며, 이러한 문제는 특정 케이스에서 해결된다.

ABSTRACT

We consider a rate-distortion version of the quantum state redistribution task, where the error of the decoded state is judged via an additive distortion measure; it thus constitutes a quantum generalisation of the classical Wyner-Ziv problem. The quantum source is described by a tripartite pure state shared between Alice ($A$, encoder), Bob ($B$, decoder) and a reference ($R$). Both Alice and Bob are required to output a system ($\widetilde{A}$ and $\widetilde{B}$, respectively), and the distortion measure is encoded in an observable on $\widetilde{A}\widetilde{B}R$. It includes as special cases most quantum rate-distortion problems considered in the past, and in particular quantum data compression with the fidelity measured per copy; furthermore, it generalises the well-known state merging and quantum state redistribution tasks for a pure state source, with per-copy fidelity, and a variant recently considered by us, where the source is an ensemble of pure states [ZBK & AW, Proc. ISIT 2020, pp. 1858-1863 and ZBK, PhD thesis, UAB 2020, arXiv:2012.14143]. We derive a single-letter formula for the rate-distortion function of compression schemes assisted by free entanglement. A peculiarity of the formula is that in general it requires optimisation over an unbounded auxiliary register, so the rate-distortion function is not readily computable from our result, and there is a continuity issue at zero distortion. However, we show how to overcome these difficulties in certain situations.

연구 동기 및 목표

• 출력 상태에 대한 덧셈성 왜곡 측정을 사용하여 고전적 Wyner-Ziv 소스 코딩을 양자 영역으로 확장한다.
• 기존의 양자 비율-왜곡 모델들인 양자 데이터 압축과 상태 병합을 하나의 프레임워크 아래 통합하고 일반화한다.
• 순수 상태 소스에 대해 얽힘을 보조로 사용하는 비율-왜곡 함수의 단일 문자형 특성화를 유도한다.
• 비율-왜곡 함수의 계산 및 연속성 문제, 특히 영 왜곡에서의 문제를 다룬다.
• 특정 물리적 상황에서 연속성 및 계산 가능성 문제를 어떻게 극복할 수 있는지 보여준다.

제안 방법

• 삼중 순수 상태 |ψ⟩^ABR가 앨리스(A), 보브(B), 그리고 참조(R) 사이에 공유되며, 출력 시스템 Â와 B̃을 고려한다.
• 왜곡은 ÂB̃R의 공동 상태 위에서 정의된 볼록성과 연속성을 갖는 함수 Δ를 통해 일반화되며, 허밀턴 기반 및 관측가치 기반 측정을 일반화한다.
• 공유된 얽힘 상태 Φ^{A₀B₀}와 CPTP 사상 E와 D를 사용하여 얽힘을 보조로 사용하는 압축 체계를 구성한다.
• 비율-왜곡 함수 Qₑₐ(D)는 주어진 왜곡 D에 대해 달성 가능한 비율의 하한으로 정의되며, 블록 길이에 따른 점근적 수렴성을 갖는다.
• 결합 이론과 Alicki-Fannes 부등식을 활용하여 환경과 출력 시스템 간의 양자 상호정보량을 근사한다.
• 핵심 기술적 단계로, 왜곡 D가 0에 수렴할 때 환경 시스템이 출력과 점차적으로 비상관이 된다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디코딩 출력이 충성도가 아닌 일반적인 볼록성과 덧셈성 왜곡 측정에 의해 평가될 경우, 양자 상태 재분배의 최적 비율은 무엇인가?
• RQ2 자유로운 얽힘이 양자 상태 재분배에서 비율-왜곡 트레이드오프에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ3 무한대의 보조 레지스터 최적화가 필요함에도 불구하고 비율-왜곡 함수를 단일 문자형으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 비율-왜곡 함수의 영 왜곡에서의 연속성 성질은 무엇이며, 이를 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ5 어떤 물리적 상황에서 비율-왜곡 공식의 무한대 최적화가 효과적으로 유계화되거나 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 얽힘을 보조로 사용하는 비율-왜곡 함수 Qₑₐ(D)에 대해 단일 문자형 공식을 유도하였으며, 양자 데이터 압축과 상태 병합을 일반화한다.
• 공식은 무한대의 보조 레지스터 최적화를 필요로 하여 일반적으로 계산이 불가능하며, 영 왜곡에서 연속성 문제가 발생한다.
• 작은 왜곡 D에 대해 출력 상태와 목표 상태 간의 트레이스 거리가 O(√D)로 유계지며, 이는 Fannes-Audenaert 부등식을 통해 양자 상호정보량을 제어할 수 있음을 의미한다.
• D→0일 때 환경 시스템이 출력과 점차적으로 분리되며, 이는 양자 상호정보량이 수렴함을 의미한다.
• 전체 질량이 있는 소스 상태인 경우, 상태 변환의 연산자 노름을 유계화함으로써 연속성 문제를 해결할 수 있으며, 이는 효과적인 계산을 가능하게 한다.
• 프레임워크는 상태 병합과 복사당 허밀턴 기반 충성도를 갖는 양자 데이터 압축을 특수 케이스로 포함하며, 이는 이전 결과와의 일관성을 확인한다.