[논문 리뷰] A recursive bijective approach to counting permutations containing 3-letter patterns

David Callan|ArXiv.org|2002. 11. 25.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정 3글자 패턴을 포함하는 순열의 수를 세기 위해 재귀적 단사적 방법을 제시한다. 패턴 간 겹침을 기반으로 한 케이스 분석과 단사적 사상으로 복잡한 경우를 단순한 경우로 줄인다. 기존의 공식에 대해 조합적 증명을 제공하고, 최대 네 개의 123 또는 132 패턴을 포함하는 순열의 수에 대해 명시적인 표현을 유도한다. 이 수는 2의 거듭제곱과 볼라드 수의 선형 조합으로 나타나며, 모든 k에 대해 이러한 수가 대수적 함수임을 지지하는 추측을 뒷받침한다.

ABSTRACT

We present a method, illustrated by several examples, to find explicit counts of permutations containing a given multiset of three letter patterns. The method is recursive, depending on bijections to reduce to the case of a smaller multiset, and involves a consideration of separate cases according to how the patterns overlap. Specifically, we use the method (i) to provide combinatorial proofs of Bona's formula {2n-3}choose{n-3} for the number of n-permutations containing one 132 pattern and Noonan's formula 3/n {2n}choose{n+3} for one 123 pattern, (ii) to express the number of n-permutations containing exactly k 123 patterns in terms of ballot numbers for k<=4, and (iii) to express the number of 123-avoiding n-permutations containing exactly k 132 patterns as a linear combination of powers of 2, also for k<=4. The results strengthen the conjecture that the counts are algebraic for all k.

연구 동기 및 목표

• 주어진 3글자 패턴의 다중집합을 포함하는 순열을 세기 위한 재귀적 단사적 방법을 개발하는 것.
• Bóna의 132 패턴 발생에 대한 공식과 Noonan의 123 패턴 발생에 대한 공식에 대해 조합적 증명을 제공하는 것.
• 정확히 k개의 123 패턴을 포함하는 n-순열의 수를 k ≤ 4일 때 볼라드 수를 사용해 표현하는 것.
• 정확히 k개의 132 패턴을 포함하는 123-회피 n-순열의 수를 k ≤ 4일 때 2의 거듭제곱의 선형 조합으로 표현하는 것.
• 이러한 순열 수가 모든 k에 대해 대수적임을 지지하는 추측을 강화하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 겹치는 3글자 패턴을 포함하는 문제를 더 작은 부분 문제로 줄이기 위해 재귀적 단사적 사상을 사용한다.
• 패턴 간 겹침의 정도에 따라 케이스를 분류하며, 특히 서로 다른 패턴 문자의 수와 그들의 위치 및 값 관계를 분석한다.
• 각 케이스에서 순열은 W₁, W₂ 및 중심 패턴 세그먼트로 분해되며, 나머지 원소들은 상대적 값에 따라 집합으로 분할된다.
• W₁과 W₂의 축소된 형태는 알려진 순열 클래스(예: 딜크 경로 또는 볼라드 경로)로 사상되며, 이는 알려진 단사적 사상으로 격자 경로와 연결된다.
• 이 방법은 볼라드 수 Cₙ^(k) = (k/(2n+k)) × binomial(2n+k, n)을 활용하여 제1사분면 격자 경로를 세며, 이는 특정 순열 클래스에 대응한다.
• 총 수는 b(중심 패턴 문자의 값)와 같은 핵심 매개변수의 유효한 모든 값에 대해 합산하며, 이는 이항계수와 2의 거듭제곱을 기반으로 한 케이스별 크기 계산을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 겹치는 3글자 패턴을 포함하는 순열을 세는 데 재귀적 단사적 방법을 체계적으로 적용할 수 있는가, 특히 패턴이 겹칠 경우에 대해?
• RQ2 작은 k에 대해 정확히 k개의 123 패턴을 포함하는 순열의 조합적 구조는 어떠한가?
• RQ3 123-회피 순열에서 정확히 k개의 132 패턴을 포함하는 순열은 어떻게 세는가, 그리고 그 수의 대수적 형태는 어떠한가?
• RQ4 k ≤ 4일 때의 결과에 따르면, 3글자 패턴의 k개 발생을 포함하는 순열의 수가 대수적 구조를 띠는가?
• RQ5 기존의 단일 패턴 발생에 대한 공식(예: Bóna의 공식 및 Noonan의 공식)은 통일된 단사적 재귀적 프레임워크를 통해 재유도될 수 있는가?

주요 결과

• 정확히 한 개의 132 패턴을 포함하는 n-순열의 수는 (2n−3 choose n−3)로 주어지며, 조합적 단사적 사상으로 확인되었다.
• 정확히 한 개의 123 패턴을 포함하는 n-순열의 수는 (3/n) × binomial(2n, n+3)로 주어지며, 이 또한 조합적으로 증명되었다.
• k ≤ 4일 때, 정확히 k개의 123 패턴을 포함하는 n-순열의 수는 볼라드 수의 선형 조합으로 표현된다.
• k ≤ 4일 때, 정확히 k개의 132 패턴을 포함하는 123-회피 n-순열의 수는 2의 거듭제곱의 선형 조합으로 표현된다.
• 정확히 네 개의 132 패턴을 포함하는 n-순열의 총 수는 이항계수와 2의 거듭제곱을 포함하는 항들의 합으로 주어지며, 2×binomial(n−4,1)×2ⁿ⁻⁵ + 3×binomial(n−4,2)×2ⁿ⁻⁶ + binomial(n−4,3)×2ⁿ⁻⁷ + binomial(n−5,3)×2ⁿ⁻⁸ + binomial(n−5,4)×2ⁿ⁻⁹이다.
• 결과는 모든 k에 대해 어떤 3글자 패턴의 정확히 k개 발생을 포함하는 n-순열의 수가 n에 대한 대수적 함수임을 지지하는 넓은 추측을 뒷받침한다.