[论文解读] A relation for Gromov-Witten invariants of local Calabi-Yau threefolds

Siu-Cheong Lau, Naichung Conan Leung+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过利用双有理变换——特别是纤维化紧化和流形变换——建立了局部卡勒三倍体上开与闭格罗莫夫-威滕不变量之间的关系，使得可通过爆破上的普通格罗莫夫-威滕不变量来计算零亏格开不变量。关键结果为：在有理曲线无形变的非退化条件下，$ K_S $ 上的开不变量 $ n_{\alpha + \beta} $ 等于闭不变量 $ \langle 1 \rangle^{K_{S_1}}_{0,0,\alpha'} $。

ABSTRACT

We compute certain open Gromov-Witten invariants for toric Calabi-Yau threefolds. The proof relies on a relation for ordinary Gromov-Witten invariants for threefolds under certain birational transformation, and a recent result of Kwokwai Chan.

研究动机与目标

• 计算因泡配置导致障碍的 торic 卡勒三倍体的零亏格开格罗莫夫-威滕不变量。
• 通过双有理几何，将 $ K_S $ 上的开不变量与 $ S_1 $（即 $ S $ 的爆破）上的闭不变量联系起来。
• 通过识别非紧空间上不变量保持良好定义的条件，将计算推广至非法诺曲面。
• 通过纤维化紧化与流形变换，建立开不变量与闭不变量之间的桥梁，受 SYZ 镜像对称的启发。

提出的方法

• 利用纤维化紧化 $ X = \mathbb{P}(K_S \oplus \mathcal{O}_S) \to S $ 将开不变量与闭不变量联系起来。
• 通过在纤维上进行爆破与流形变换，构造双有理映射 $ f: X \dashrightarrow W $，使用中间空间 $ \tilde{X} $。
• 应用双有理变换下格罗莫夫-威滕不变量的已知结果，特别是普通流形变换与爆破的情形。
• 依赖 Chan 的结果，通过库朗希结构与镜像周期将开不变量与闭不变量联系起来。
• 利用虚拟基本类与评估映射，通过在模空间上的积分来定义不变量。
• 将构造推广至任意光滑射影代数曲面上的 $ \mathbb{P}^n $-丛，将关系扩展至更高维基底。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于因模空间受阻而难以处理的非法诺 toric 卡勒三倍体，如何计算其零亏格开格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ2 何种双有理变换能保持或关联紧化局部卡勒三倍体之间的格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ3 在何种条件下，非紧卡勒三倍体的格罗莫夫-威滕不变量是良好定义的？
• RQ4 能否将 $ K_S $ 上的开不变量表示为 $ K_{S_1} $ 上的闭不变量，其中 $ S_1 $ 是 $ S $ 的爆破？
• RQ5 在 $ \mathbb{P}^1 $-丛（以曲面为基）的背景下，流形操作如何影响格罗莫夫-威滕不变量？

主要发现

• 对于 $ (K_S, L) $，零亏格开格罗莫夫-威滕不变量 $ n_{\alpha + \beta} $ 等于闭不变量 $ \langle 1 \rangle^{K_{S_1}}_{0,0,\alpha'} $，其中 $ \alpha' $ 是 $ \alpha $ 在 $ S_1 $ 中的严格提升。
• 当 $ K_{S_1} $ 的零截面外无有理曲线可从类 $ \alpha' $ 中形变时，该不变性成立，从而确保闭不变量的良好定义。
• 对于法诺曲面 $ S_1 $，所有 $ \alpha $ 均自动满足该条件，使该关系在该情形下普遍适用。
• 该关系可推广至 $ n $ 个边界分量的情形，即 $ n $ 个不同拉格朗日子流形环面纤维上的开不变量，推广了单圆盘情形。
• 主恒等式 $ \langle [\mathrm{pt}], \dots, [\mathrm{pt}] \rangle^{X}_{0,n,\beta} = \langle 1 \rangle^{W}_{0,0,\beta'} $ 在 $ \mathbb{P}^1 $-丛（以曲面为基）上成立，其中 $ \beta' $ 是 $ \beta $ 的严格提升。
• 该构造可推广至任意光滑射影代数曲面上的 $ \mathbb{P}^n $-丛，且在涉及爆破与流形变换的双有理映射下具有类似不变性。