[논문 리뷰] A sequential sampling strategy for extreme event statistics in nonlinear dynamical systems

Mustafa A. Mohamad, Themistoklis P. Sapsis|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 19.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 30인용 수 110

한 줄 요약

이 논문은 비선형 동역학 시스템에서 극단적 사건 통계 추정을 위해 최소한의 시뮬레이션으로도 극단적 사건의 통계를 크게 향상시키는 순차적 샘플링 전략을 제안한다. 이 방법은 확률 밀도 함수(pdf)의 꼬리 부분의 불확실성을 줄이기 위해 로그 변환 거리 척도를 사용하는 가우시안 프로세스 회귀를 활용하여, 정보가 가장 많은 매개변수 점들을 적응적으로 선택한다. 고차원 시스템, 예를 들어 수백만 개의 자유도를 가진 해양 플랫폼에서도 오직 10~20개의 샘플로도 정확한 pdf 근사가 가능하다.

ABSTRACT

We develop a method for the evaluation of extreme event statistics associated with nonlinear dynamical systems, using a small number of samples. From an initial dataset of design points, we formulate a sequential strategy that provides the 'next-best' data point (set of parameters) that when evaluated results in improved estimates of the probability density function (pdf) for a scalar quantity of interest. The approach utilizes Gaussian process regression to perform Bayesian inference on the parameter-to-observation map describing the quantity of interest. We then approximate the desired pdf along with uncertainty bounds utilizing the posterior distribution of the inferred map. The 'next-best' design point is sequentially determined through an optimization procedure that selects the point in parameter space that maximally reduces uncertainty between the estimated bounds of the pdf prediction. Since the optimization process utilizes only information from the inferred map it has minimal computational cost. Moreover, the special form of the metric emphasizes the tails of the pdf. The method is practical for systems where the dimensionality of the parameter space is of moderate size, i.e. order O(10). We apply the method to estimate the extreme event statistics for a very high-dimensional system with millions of degrees of freedom: an offshore platform subjected to three-dimensional irregular waves. It is demonstrated that the developed approach can accurately determine the extreme event statistics using limited number of samples.

연구 동기 및 목표

• 직접 시뮬레이션으로는 불가능한 낮은 사건 발생 확률로 인해 고차원 비선형 동역학 시스템에서 극단적 사건 통계 추정의 과제를 해결하기 위해.
• 전체 확률 밀도 함수(pdf)의 불확실성을 최소화하는 계산 효율적인 방법을 개발하여, 특히 꼬리 부분에서의 불확실성을 줄이기 위해 '다음에 가장 좋은' 매개변수 샘플을 선택하기 위해.
• 비싼 시뮬레이션 또는 실험을 소수의 샘플로만 사용하여 극단적 사건 통계를 정확하게 추정할 수 있도록 하기 위해.
• 극단적 사건과 관련된 영역에 집중하여 샘플링을 수행하기 위해, 희귀 사건에 대한 민감도를 향상시키기 위해 pdf의 로그 변환을 활용하여 꼬리 부분의 추정을 향상시키기 위해.
• 실제 고정밀도 고차원 시스템인 비정상적 파도 하에서의 해양 플랫폼(수백만 개의 자유도)에 대해 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 초기 샘플 점 데이터셋으로부터 매개변수-관측치 맵을 추론하기 위해 가우시안 프로세스 회귀(GPR)를 사용한다.
• 추정된 pdf의 상한과 하한 간의 거리 척도를 기반으로, 불확실성을 최대한으로 감소시키는 다음 설계 점을 선택하기 위한 순차 최적화 절차를 수립한다.
• 불확실성 감소 기준은 pdf 상한과 하한 간의 거리 척도이며, 로그 변환을 통해 꼬리 영역이 강조된다.
• 선택 과정에서 추가 시뮬레이션 없이 GPR 모델의 사후 분포에만 의존하므로 계산 비용을 최소화한다.
• 중간 정도의 매개변수 공간 차원성(O(10))을 가진 시스템에 적용하여 복잡한 고차원 역학을 효율적으로 탐색할 수 있다.
• 력과 모멘트와 같은 양수 값을 가지는 관측치의 경우, 모델링의 안정성과 정확도를 향상시키기 위해 GPR을 관측치의 로그에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 시뮬레이션 예산 내에서 비선형 동역학 시스템에서 전체 확률 밀도 함수(pdf), 특히 극단적 꼬리 부분을 효율적으로 추정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 희귀한 극단적 사건에 집중하면서 pdf 추정의 불확실성을 최소화하는 샘플링 전략은 무엇인가?
• RQ3 순차적이고 적응적인 샘플링 접근법이 극단적 사건 통계의 수렴 속도와 정확도 측면에서 표준 라틴 하이퍼큐브 샘플링을 능가할 수 있는가?
• RQ4 pdf의 로그 변환은 선택 기준에서 꼬리 행동에 대한 민감도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 이 방법은 해양 구조물에 대한 비정상적 파도 하에서 수백만 개의 자유도를 가진 고차원 시스템에 얼마나 널리 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 순차적 샘플링 전략은 초기 4점의 라틴 하이퍼큐브 설계를 기반으로 14개의 추가 샘플만으로도 로그 pdf의 L1 오차에서 표준 라틴 하이퍼큐브 샘플링보다 거의 한 계단 높은 성능을 보였다.
• 해양 플랫폼의 힘에 대해 '정확한' pdf와 양호한 일치를 이룬 것은 초기 4점의 라틴 하이퍼큐브 설계 이후 14개의 추가 샘플만으로도 달성되었다.
• 알고리즘이 표준 방법이 적은 샘플로는 해소하지 못하는 비정규 분포의 꼬리 형태를 성공적으로 포착하였다.
• 다양한 초기 데이터셋 크기와 핵심 반복 파라미터에 대해 점차 수렴하고 안정적인 성능을 보였다.
• 샘플링 전략은 큰 힘과 유의미한 확률을 가지는 영역의 점들을 선택하여 극단적 사건 관련 매개변수 공간 영역에 집중하고 있음을 확인하였다.
• 실제 고정밀도 고차원 시스템(수백만 개의 자유도)에 대해 검증되었으며, 이는 공 ing 설계 문제에 대한 실용성을 확인한다.