[논문 리뷰] A service system with packing constraints: Greedy randomized algorithm achieving sublinear in scale optimality gap

Alexander Stolyar, Yuan Zhong|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 10.

Optimization and Search Problems참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 포장 제약 조건을 가진 서비스 시스템에서 동적 고객 포장에 대한 GRAND(Z^p) 알고리즘을 제안한다. 여기서 0-서버의 수는 Z^p로 스케일링되며, p ∈ (1−1/(8κ), 1)이다. 이 알고리즘은 시스템 규모 r에 대해 최적해와의 안정 상태 갭이 o(r)인 점근적 최적성을 입증하며, 이는 이전의 GRAND(aZ) 변종보다 더 강력한 점근적 최적성 형태이다.

ABSTRACT

A service system with multiple types of arriving customers is considered. There is an infinite number of homogeneous servers. Multiple customers can be placed for simultaneous service into one server, subject to general packing constraints. Each new arriving customer is placed for service immediately, either into an occupied server, as long as packing constraints are not violated, or into an empty server. After service completion, each customer leaves its server and the system. The basic objective is to minimize the number of occupied servers in steady state. We study a Greedy-Random (GRAND) placement (packing) algorithm, introduced in [23]. This is a simple online algorithm, which places each arriving customer uniformly at random into either one of the already occupied servers that can still fit the customer, or one of the so-called zero-servers, which are empty servers designated to be available to new arrivals. In [23], a version of the algorithm, labeled GRAND($aZ$), was considered, where the number of zero servers is $aZ$, with $Z$ being the current total number of customers in the system, and $a>0$ being an algorithm parameter. GRAND($aZ$) was shown in [23] to be asymptotically optimal in the following sense: (a) the steady-state optimality gap grows linearly in the system scale $r$ (the mean total number of customers in service), i.e. as $c(a) r$ for some $c(a)> 0$; and (b) $c(a) o 0$ as $a o 0$. In this paper, we consider the GRAND($Z^p$) algorithm, in which the number of zero-servers is $Z^p$, where $p \in (1-1/(8κ),1)$ is an algorithm parameter, and $(κ-1)$ is the maximum possible number of customers that a server can fit. We prove the asymptotic optimality of GRAND($Z^p$) in the sense that the steady-state optimality gap is $o(r)$, sublinear in the system scale. This is a stronger form of asymptotic optimality than that of GRAND($aZ$).

연구 동기 및 목표

• 일반적인 단조 증가 포장 제약 조건 하에서 동적 고객 포장에 대한 간결하고 온라인 알고리즘을 설계하기.
• 클라우드 리소스 할당에서 핵심 목표인 안정 상태에서 점유된 서버 수를 최소화하기.
• 파rameter 조정 없이도 시스템 규모 r에 대해 하위선형 최적성 갭을 달성함으로써 이전의 GRAND(aZ) 알고리즘을 향상시키기.
• 이전 결과들과는 달리, a→0일 때조차도 최적성 갭이 선형으로 증가하는 것과는 달리 더 강력한 점근적 최적성을 확립하기.
• 0-서버의 수가 현재 부하 Z^p의 하위선형 거듭제곱에 비례하는 GRAND(Z^p) 알고리즘을 분석하기, 여기서 p는 1에 가까운 값이다.

제안 방법

• GRAND(Z^p)를 제안한다. 이는 각 도착 고객을 포장 제약 조건을 만족하는 경우 기존에 점유된 서버 중 무작위로 할당하거나, Z^p개의 지정된 0-서버 중 하나에 무작위로 할당하는 근사-무작위 온라인 알고리즘이다.
• 리아프노프 함수 L(x)의 변화율을 제어하기 위해 유체 극한 분석과 함께 정교한 확률적 쌍용 및 인공 프로세스 구성 기법을 사용한다.
• 샘플 경로 행동을 분석하기 위해 r^{−3s+3+ε}의 길이를 가지는 부분 간격으로 시간 이산화 기법을 적용한다. 여기서 s > 3/4 이고 ε는 매우 작은 값이다.
• 보렐-칸텔리 보조정리(lemma)를 적용하여, 매우 큰 r에 대해 원래 프로세스와 제약 위반 하에서 동역학이 고정된 인공 프로세스가 거의 확실히 일치함을 보인다.
• 콤���트 집합에서 ∑ₖ xₖ로 균일 수렴하는 리아프노프 함수 L(x)를 사용하여, 편차 한계를 통한 최적성 갭 제어를 가능하게 한다.
• L(x)의 변화율이 최적 값으로부터 o(r) 이내로 시스템 상태가 수렴하도록 보장함으로써, 하위선형 최적성 갭을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 포장 제약 조건을 가진 동적 포장 시스템에서 단순한 온라인 알고리즘이 하위선형 최적성 갭을 달성할 수 있는가?
• RQ2 p ∈ (1−1/(8κ), 1)인 GRAND(Z^p)가 a→0가 필요 없이 GRAND(aZ)보다 더 강력한 점근적 최적성을 달성하는가?
• RQ3 GRAND(Z^p)의 최적성 갭이 엄밀히 o(r)인가, 즉 시스템 규모 r에 대해 선형보다 느리게 증가하는가?
• RQ4 GRAND(Z^p)의 분석을 p ∈ (0,1)으로 확장할 수 있는가, 아니면 기술적 이유로 p가 1에 가까운 값으로 제한되어야 하는가?
• RQ5 원래 프로세스와 인공 프로세스 사이의 쌍용이 0-서버의 하위선형 스케일링 조건 하에서 수렴성 증명을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• GRAND(Z^p) 알고리즘은 안정 상태에서 최적성 갭이 o(r)인 것을 달성한다. 즉, 갭은 시스템 규모 r에 대해 선형보다 느리게 증가한다.
• 이 하위선형 갭은 GRAND(aZ)가 선형 갭 c(a)r을 가지며 a→0일 때에만 소멸하는 것과는 달리, 더 강력한 점근적 최적성 형태이다.
• 증명은 시간 이산화와 원래 프로세스 및 인공 프로세스 간의 쌍용을 포함한 정교한 유체 극한 분석에 기반한다.
• 매우 큰 r에 대해, 거의 확실히 시스템 상태가 최적 값으로부터 o(r) 이내로 수렴하므로 점근적 최적성이 보장된다.
• 조건 p > 1−1/(8κ) 하에서 결과가 성립하며, 여기서 κ−1은 서버당 최대 고객 수이다. 이 조건은 기술적일 가능성이 높고 근본적인 제약은 아닐 것이다.
• 저자들은 결과가 모든 p ∈ (0,1)으로 확장될 것이라 추측하지만, 현재 증명은 기술적 이유로 p가 1에 가까운 값으로 제한되어 있다.