[논문 리뷰] A Short Survey of Topological Data Analysis in Time Series and Systems Analysis

Shafie Gholizadeh, Wlodek Zadrozny|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 27.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 40인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 시간 시계열 및 시스템 분석 분야에서 위상적 데이터 분석(TDA) — 특히 지속 호몰로지의 응용을 조사하며, 금융 시장 붕괴와 같은 임계 전이의 조기 경고 신호를 탐지하는 데의 효과성을 입증한다. 금융 시계열의 슬라이딩 윈도우에서 유도된 상관관계 네트워크의 위상적 특징을 분석함으로써, 붕괴 이전에 지속 랜드스케이프 노름의 상승 추세를 드러내며, 최대 8개월 전까지 탐지 가능한 신호를 제공한다.

ABSTRACT

Topological Data Analysis (TDA) is the collection of mathematical tools that capture the structure of shapes in data. Despite computational topology and computational geometry, the utilization of TDA in time series and signal processing is relatively new. In some recent contributions, TDA has been utilized as an alternative to the conventional signal processing methods. Specifically, TDA is been considered to deal with noisy signals and time series. In these applications, TDA is used to find the shapes in data as the main properties, while the other properties are assumed much less informative. In this paper, we will review recent developments and contributions where topological data analysis especially persistent homology has been applied to time series analysis, dynamical systems and signal processing. We will cover problem statements such as stability determination, risk analysis, systems behaviour, and predicting critical transitions in financial markets.

연구 동기 및 목표

• 최근 시간 시계열 및 시스템 분석 분야에서 위상적 데이터 분석(TDA)의 응용, 특히 지속 호몰로지에 초점을 맞춘 리뷰를 수행한다.
• 기존 방법이 실패할 수 있는 잡음이 많거나 고차원적인 시간 시계열 데이터에서 TDA가 어떻게 구조적 특징을 포착하는지 검토한다.
• 금융 시장과 역학 시스템에서의 임계 전이를 탐지하기 위해 위상적 불변량을 어떻게 활용하는지 조사한다.
• 지속 다이어그램과 랜드스케이프와 같은 위상적 특징이 불안정성의 조기 징후를 식별하는 데 얼마나 강건한지 강조한다.
• 시스템 및 금융 이코노메트릭스 분야에서 전통적인 신호 처리 및 머신러닝의 대안으로서 TDA의 잠재력을 위치짓는다.

제안 방법

• 시간 시계열 데이터에서 지연 임bedding 또는 슬라이딩 윈도우 내 상관관계 기반 그래프를 이용해 단체 복합체를 구축한다.
• 다양한 척도에서 위상적 불변량(바코드, 지속 다이어그램, 랜드스케이프)을 계산하기 위해 지속 호몰로지를 적용한다.
• 시간 시계열 내 연속적인 상관관계 그래프 간의 위상적 변화를 측정하기 위해 자카르 지수를 사용한다.
• 지속 랜드스케이프의 L^p-노름을 계산하여 시간에 따른 위상적 복잡도를 정량화한다.
• 위상적 불변량의 시계열을 분석하여 임계 전이 이전의 상승 추세를 탐지한다.
• 체인 복합체와 경계 호모모르피즘을 활용하여 호몰로지 군과 오일러 특성을 계산함으로써 위상적 묘사자를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 데이터 분석은 시간 시계열 데이터를 활용해 금융 시장 붕괴의 조기 경고 신호를 탐지할 수 있는가?
• RQ2 지속 다이어그램과 랜드스케이프와 같은 위상적 불변량은 금융 상관관계 네트워크의 구조 변화를 어떻게 반영하는가?
• RQ3 잡음이 많은 시스템에서 전통적인 신호 처리 방법에 비해 지속 호몰로지가 임계 전이를 식별하는 데 얼마나 더 강건한가?
• RQ4 역학 시스템과 금융 시계열에서의 시스템 불안정성과 관련된 위상적 특징는 무엇인가?
• RQ5 슬라이딩 윈도우 기반 상관관계 그래프에서 유도된 위상적 특징는 시장 붕괴 이전에 체계적 위험을 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 지속 랜드스케이프의 L^1 및 L^2-노름은 2000년 도트컴 버블 붕괴와 2008년 금융위기 이전에 뚜렷한 상승 추세를 보였다.
• 위상적 특징는 2008년 금융위기의 정점까지 최대 8개월 전에 다우존스 산업평균지수에서 시장 불안정성의 조기 징후를 탐지했다.
• 지속 호몰로지에 의한 분석은 주요 시장 붕괴 이전에 위상적 복잡도와 네트워크 밀도가 증가하는 것을 드러냈다.
• 이 방법은 잡음 조건 하에서도 상관관계 네트워크의 구조적 변화를 포착하는 데 강건함을 입증했다.
• 지속 다이어그램과 랜드스케이프와 같은 위상적 불변량은 역학 시스템에서 임계 전이를 탐지하는 데 기존 방법보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 지속 호몰로지 기반 지연 임베딩을 활용해 유전자 발현 및 동작 캡처 데이터에서 주기적 행동과 구조적 전이 변화를 성공적으로 식별했다.